¿Puede un espacio vectorial sobre un campo infinito ser una unión finita de subespacios propios?

Question

¿Puede un espacio vectorial (posiblemente infinito) ser alguna vez una unión finita de subespacios propios?

Si el campo de tierra es finito, entonces cualquier espacio vectorial finito es finito como conjunto, por lo que hay un número finito de subespacios unidimensionales, y es la unión de éstos. Así que supongamos que el campo de tierra es infinito.

Answer 1

Se puede demostrar por inducción sobre n que:

Un espacio afín sobre un campo infinito $F$ no es la unión de $n$ adecuado afín subespacios.

El paso inductivo es el siguiente: Elige uno de los subespacios afines $V$ . Elige un subespacio afín de codimensión uno que lo contenga, $W$ . Mira todas las traducciones de $W$ . Desde $F$ es infinito, algunos traducen $W'$ de $W$ no está en su lista. Ahora restringe todos los demás subespacios hasta $W'$ y aplicar la hipótesis inductiva.

De este modo se obtiene el límite estricto de que un $F$ espacio afín no es la unión de $n$ subespacios adecuados si $|F|>n$ . Para los espacios vectoriales, se puede obtener la cota ajustada $|F|\geq n$ haciendo el primer paso y luego aplicando el límite afín.

Answer 2

Para un poco peor respuesta de la aleta dim caso - demostrar los siguientes - si k es un infinito campo, entonces, si f es un polinomio en n variables a lo largo de k existe un punto de k^n x tal que f(x) es distinto de cero (lo que demuestra esta realidad, no es mucho más fácil que el problema real a pesar de que yo dije que era una peor respuesta.) Cada subespacio se asigna a cero por algunos poli sobre k, la multiplicación de los polys da una contradicción.

Answer 3

El caso de dimensión finita no puede darse por el conteo de dimensiones (sólo hay que ver todo como espacios afines).

Answer 4

Recientemente he realizado una breve nota expositiva sobre este tema, Números de cobertura en álgebra lineal . Ver:

http://math.uga.edu/~pete/coveringnumbersv2.pdf

Answer 5

Dejemos que $V$ sea la unión $\cup_{i=1}^n V_i$ , donde el $V_i$ son subespacios propios y el campo de tierra $k$ es infinito. Elige un vector distinto de cero $x\in V_1$ . Escoge $y\in V-V_1$ y observe que hay infinitos vectores de la forma $x+\alpha y$ con $\alpha\in k^\ast$ . Ahora $x+\alpha y$ nunca está en $V_1$ y por lo tanto hay algo de $V_j$ , $j\neq 1$ con infinitos de estos vectores, por lo que contiene $y$ y, por tanto, contiene $x$ . Desde $x$ era arbitraria, vemos $V_1$ está contenida en $\cup_{i=2}^n V_i$ ; evidentemente, este proceso puede repetirse para encontrar una contradicción.

Steve