Expansión de Taylor de $\sqrt{f(x)}$ en $ x=0.$

Question

Sea $f$ sea una función estrictamente positiva. Entonces podemos calcular la expansión de Taylor de $\sqrt{f(x)}$ a cero. Wolfram alfa%20at%20x%3D0) da los primeros términos como

$$\sqrt{f(x)}= \sqrt{f(0)} + \frac{f'(0)x}{2\sqrt{f(0)}}+...$$

Ahora, me preguntaba si existe una representación cerrada de esto como una serie de potencias. A primera vista no parece difícil, ya que sólo tenemos que aplicar la regla de la cadena y del cociente, pero no he podido encontrar una ecuación cerrada.

Answer 1

Haciendo el problema más general, si se considera $\sqrt[n]{f(x)}$ $$\sqrt[n]{f(x)}=f(0)^{\frac{1}{n}}+\frac{ f(0)^{\frac{1}{n}-1} f'(0)}{n}x+\frac{ f(0)^{\frac{1}{n}-2} \left(nf(0) f''(0)-n f'(0)^2+f'(0)^2\right)}{2 n^2}x^2+O\left(x^3\right)$$ que es lo que Wolfram Alpha le dio por $n=2$ .

De lo contrario, podría considerar $$f(x)=f(0)+x f'(0)+\frac{1}{2} x^2 f''(0)+O\left(x^3\right)$$ $$\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{f(0)+x f'(0)+\frac{1}{2} x^2 f''(0)+O\left(x^3\right)}$$ y utilizar el teorema del binomio generalizado escribir $$\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{f(0)}\left(1+\frac{f'(0)}{f(0)}x+\frac12 \frac{f''(0)}{f(0)}x^2+O\left(x^3\right)\right)^{\frac 1n}$$ utilizando $$(1+z)^{\frac 1n}=1+\frac{1}{n}z+\frac{(1-n) }{2 n^2}z^2+O\left(z^3\right)$$ en el que $$z=\frac{f'(0)}{f(0)}x+\frac12 \frac{f''(0)}{f(0)}x^2+O\left(x^3\right)$$ Seguro que lo mismo ocurre con más plazos.