Demostrar que $5 \times 5 \times 5$ el tres en raya termina en empate

Question

Estoy bastante seguro de que cuando se juega perfectamente, $5 \times 5 \times 5$ el tres en raya terminará en empate. ¿Alguien puede demostrarlo?

Answer 1

Esto parece ser un problema abierto. En cualquier caso, se ha planteado como un problema abierto en József Beck de 2008 Juegos combinatorios: Teoría del Tic-Tac-Toe en la página 55:

Problema abierto 3.2 ¿Es cierto que $5^3$ ¿El tres en raya es un juego de sorteo? ¿Es cierto que $5^4$ ¿El Tic-Tac-Toe es una victoria para el primer jugador?

Se sabe muy poco sobre la $n^d$ juegos cuando $d\ge3,$ sobre todo de ganar. Sabemos que el primer jugador puede lograr una $4$ -en una fila primero en el $3$ -espacio ( $4^3$ Tic-Tac-Toe); ¿qué tal lograr un $5$ -¿en una fila? En otras palabras, el primer jugador quiere una estrategia ganadora en algún $5^d$ Tic-Tac-Toe. Deja que $d_0$ denotan la dimensión más pequeña $d$ cuando el primer jugador tiene una victoria forzada en el $5^d$ juego; lo pequeño que es $d_0?$ (Un famoso resultado de la Teoría de Ramsey, llamado Teorema de Hales-Jewett, véase la sección 7, garantiza que $d_0$ es finito). La segunda pregunta del problema abierto 3.2 sugiere que $d_0=4,$ ¿pero qué podemos probar realmente? ¿Podemos demostrar que $d_0\le1000?$ No, no podemos. ¿Podemos demostrar que $d_0\le1000^{1000}?$ No, no podemos. ¿Podemos demostrar que $d_0\le1000^{1000^{1000}}?$ No, tampoco podemos demostrarlo. Incluso si iteramos esto $1000$ veces, todavía no podemos demostrar que este " $1000$ -La "torre" es un límite superior de $d_0.$ Por desgracia, el límite superior más conocido de $d_0$ es vergonzosamente pobre. Para más información sobre $d_0,$ véase la sección 7.

(Ver esta vieja respuesta para ver algunas citas más del libro del profesor Beck).

Si se conoce la respuesta a su pregunta, debe haberse encontrado en los últimos años. Podría intentar preguntar al propio profesor Beck.