¿Cómo puedo demostrar que esta función es afín si $f(x+h)-f(x)=hf'(x)$ ?

Question

Dejemos que $f$ sea una función diferenciable tal que para cada $x$ y $h$ sostiene que $f(x+h)-f(x)=hf'(x)$ . Demostrar que $f(x)=kx+n$ donde $k$ y $n$ son constantes.

Entiendo por qué esto es cierto, y he tratado de demostrarlo de alguna manera, pero no puedo demostrarlo rigurosamente con el análisis. ¿Alguna idea?

Answer 1

La ecuación dada $f(x+h)−f(x)=hf′(x)$ es válida para todos los reales $h, x$ , por lo que podemos establecer con seguridad $x=0$ . Esto da $$f(h)-f(0)=hf'(0)\iff f(h)=f'(0)\cdot h+f(0).$$ Dejar $h=x,f'(0)=k,f(0)=n$ tenemos $f(x)=kx+n$ como se desee. $\blacksquare$

Answer 2

Diferenciar con respecto a $h$ . Usted obtiene

$$f'(x+h)=f'(x)$$ por cada $h$ y $x$ por lo que la derivada es constante.