Encontrar el valor máximo de $xy$ $(x+1)^2 + y^2 = 4$ sin el uso de técnicas de Cálculo

Question

Encontrar el valor máximo de $xy$$(x+1)^2 + y^2 = 4$.

Es fácil si aplicamos técnicas de Cálculo (por ejemplo, los derivados, los multiplicadores de Lagrange, etc). Sin embargo, el problema es asignado para los estudiantes que no han aprendido de Cálculo. Hay una manera de encontrar el máximo sin el uso de técnicas de Cálculo?

Tengo un par de ideas:

1. Aplicar medios geométrica: $xy \leq \frac{x^2+y^2}{2} = -x + 3/2 $.

2. Cambio de objeto de la función a $(xy)^2$, luego tenemos a $(xy)^2 = x^2(4-(x+1)^2)=x^2(-x^2 - 2x +3)$. Es decir, maximizar $x^2(-x^2 - 2x +3)$$(-3,1)$.

Answer 1

Si usted está deadset en un camino sin cálculo, vamos a empezar con la idea de $2$, es decir, cómo maximizar $$p(x) = x^2y^2 = x^2\left(4-(x+1)^2 \right)= x^2(1-x)(3+x)$$

Ahora es evidente que esta es una mirando hacia abajo el cuarto grado con raíces (con multiplicidad) $-3, 0, 0, 1$, por lo que la función es positiva cuando $x \in (-3, 0)$ o $(0, 1)$. Debe tener los máximos en los intervalos y uno de ellos debe ser el máximo global que buscamos.

Caso $1$: $x \in (-3, 0)$
$$p = (-x)(-x) (1-x)(3+x)$$ es un producto de cuatro términos positivos, así que por AM-GM, si la suma fueron una constante en este se multiplicarían cuando todos los términos son iguales. Por desgracia, la suma no es una constante, y la igualdad de condición de $(-x) = (1-x)$ es absurdo. Ambos de estos problemas, sin embargo, pueden ser abordadas por la escala adecuado. Por lo que considerar la maximización de $\alpha, \beta > 0$, $$\alpha \beta p = (-x)(-x)(\alpha - \alpha x)(3\beta + \beta x)$$ Ahora la suma es constante si tenemos $2+\alpha = \beta$, y para la igualdad debemos tener $-x = \alpha -\alpha x = 3\beta + \beta x \implies \alpha = \frac14(\sqrt{33}-3), \beta = \frac14(5+\sqrt{33}), x = -\frac14(3+\sqrt{33})$

Como todas las condiciones para AM-GM consigue satisfecho aquí, la máxima en $(-3,0)$ es al $x = -\frac14(3+\sqrt{33}) = x_1$, dicen.

Caso $2$: $x \in (0, 1)$
Siguiendo la misma lógica, ahora tenemos $$\alpha \beta p = (x)(x)(\alpha-\alpha x)(3\beta+\beta x)$$ y las condiciones de $2+\beta = \alpha, x = \alpha - \alpha x = 3\beta + \beta x \implies x_2 = \frac14(\sqrt{33}-3)$

Todo lo que queda es ver que entre los $x_1, x_2$ le da el máximo, y se ve fácilmente a $p(x_1) > p(x_2)$, por lo que el máximo es de $\sqrt{p(x_1)} = \frac14\sqrt{\frac32(69+11\sqrt{33})} \approx 3.52$.

Answer 2

Su limitación es un círculo centrado en $(-1,0)$ radio $2$. Y las curvas de nivel de $xy$ positivos a nivel hyperbolae en el primer y tercer cuadrante. Desde el círculo está centrado en la izquierda del origen, esta visualización se debe tener claro que el valor máximo de $xy$ sucede cuando ambos $x$ $y$ son negativos.

Además, la curva de $xy=M$ (donde $M$ es el valor máximo sujeto a la restricción) debe intersectar el círculo en una de tangencia en lugar de en los cruces, o bien un poco más grande $M$ sería obtenible. Para estas dos curvas se cruzan con los de tangencia, no debe ser una repetición de la raíz de la ecuación que se obtiene al eliminar una variable.

Es decir, si se elimina $y$ para obtener $$(x+1)^2+\left(\frac{M}{x}\right)^2=4$$ and then expand and clear $x$ from the denominator to get $$x^4+2x^3-3x^2+M^2=0$$ we need to have a polynomial equation with a doubled root. So for some $a,b,c$:

$$\begin{align} &x^4+2x^3-3x^2+M^2\\ &=(x-a)^2(x-b)(x-c)\\ &=(x^2-2ax+a^2)(x^2-(b+c)x+bc)\\ &=x^4-(2a+b+c)x^3+(a^2+2a(b+c)+bc)x^2-(a^2(b+c)+2abc)x+a^2bc\\ \end{align}$$

lo que implica que el sistema de $$\begin{cases} 2a+b+c&=-2\\ a^2+2a(b+c)+bc&=-3\\ a^2b+a^2c+2abc&=0 \end{casos}$$

En la última ecuación sabemos $a\neq0$, por lo que podemos dividir por $a$. Entonces podemos eliminar $c$ por problemas en la primera ecuación y sustituyendo en los otros dos. Todo esto nos da: $$\begin{cases} -4a-3a^2-2b-2ab-b^2&=-3\\ -2a-2a^2-4b-4ab-2b^2&=0 \end{casos}$$

Doble la parte superior y restar de la segunda para obtener: $$6a+4a^2=6$$ from which we can solve for $un$ using the quadratic formula. Remember that $$ is the doubled root, and so it is the same as the $x$-value where $xy$ is maximal. Also we know this number is negative, which helps to discern between the two quadratic solutions. We find that $x=a=-\frac14\left(3+\sqrt{33}\right)$ at the point where $xy$ es máxima.

Ahora podemos encontrar: $$\begin{align} y&=-\sqrt{4-(x+1)^2}\\ &=-\sqrt{4-\left(-\frac14\left(3+\sqrt{33}\right)+1\right)^2}\\ &=-\sqrt{4-\left(\frac14\left(1-\sqrt{33}\right)\right)^2}\\ &=-\sqrt{4-\frac1{16}\left(34-2\sqrt{33}\right)}\\ &=-\frac14\sqrt{30+2\sqrt{33}} \end{align}$$

Y, entonces, el valor máximo es $$M=xy=\frac{1}{16}\left(3+\sqrt{33}\right)\sqrt{30+2\sqrt{33}}$$

Puedo presentar evidencia visual de que este es el valor máximo. Una parcela de el círculo y la curva de $xy=M$. Un mayor $M$, y las dos curvas no se cruzan.

Answer 3

Aquí es quizás un camino más corto para resolver sin cálculo. En un extremo tenemos un punto de inflexión, o la tangente es horizontal, de manera que podamos traducir el gráfico para obtener un polinomio de varios de $x^2$. Tenga en cuenta que si $p(x) = x^2(4-(x+1)^2)$, luego

$$p(x+a)+C = x^2Q(x) - 2a(2a^2+3a-3)x+(C - a^2(1-a)^2(3+a))$$

ahora bien, si hay un extremo, para algunos $a, C$ el polinomio anterior no debe tener lineal o constante plazo. El término constante siempre se puede ajustar a cero mediante la elección apropiada de $C$, pero también necesitamos que el término lineal a cero el coeficiente. $a=0$ corresponde a la conocida doble de la raíz / mínimo en $x=0$, por lo tanto necesitamos

$$2a^2+3a-3 = 0 \implies a = -\tfrac14(3 \pm \sqrt{33})$$

Ahora todo lo que queda es la prueba de que la raíz da el valor más grande.

Answer 4

Para evitar el uso de los multiplicadores de Lagrange se puede utilizar la propiedad geométrica de extremals. En el extremal punto, la pendiente del círculo de $\bf c$, y el gradiente de la hipérbola, $\bf h$, son paralelas. Por lo tanto resolver un sistema de dos ecuaciones para$x $$y $:

1. La ecuación del círculo
2. $\frac {c_x}{h_x} = \frac {c_y}{h_y}$ (o su recíproco).

Answer 5

Mirando la trama, el polinomio $$y=(4-(x+1)^2)x^2$$ tiene tres extremos.

En la vecindad de una extrema, la curva se parece a una parábola. Nos puede traer el vértice de la parábola sobre el eje por la traducción de la variable independiente, $x\leftarrow x-m$, dando

$$(4-(x-m+1)^2)(x-m)^2=(3m^2+2m^3-m^4)+(-6m-6m^2+4m^3)x+(3+6m-6m^2)x^2+(-2+4m)x^3-x^4.$$

Esto se logra cuando el primer grado plazo se desvanece, es decir, cuando

$$-6m-6m^2+4m^3=0$$ o

$$m=0,m=\frac{3\pm\sqrt{33}}4.$$

La aproximación de las parábolas son

$$y=(3m^2+2m^3-m^4)+(3+6m-6m^2)(x+m)^2,$$ giving the extrema values $$3m^2+2m^3-m^4.$$