La desigualdad de Minkowski $-$ ¿por Qué debería seguir de Titular?

Question

$$ ||f+g||_p \le ||f||_p + ||g||_p \quad\text{for $1\le la p \le \infty$}$$ He utilizado la desigualdad de Minkowski de un largo tiempo sin saber realmente por qué debería ser verdadero. Yo la tome por conceder cada vez que estoy tratando con $l^p$ o $L^p$ espacios. Años han pasado y ahora estoy tomando un mejor vistazo de nuevo. No es que yo no entiendo sus pruebas ni nada, el estándar de prueba es similar a esto:

Considere el caso en $1<p<\infty$, no es difícil ver que $$\left|\frac 12f+\frac 12 g\right|^p\le \left|\frac 12|f|+\frac 12|g|\right|^p$$ para cualquier $f,g\in L^p$. Desde $x \mapsto x^p$ es convexa, tenemos $$ \left(\frac 12|f|+\frac 12|g|\right)^p \le \frac 12|f|^p+\frac 12|g|^p. $$ Sustituyendo $f,g$ en los lugares de $\frac 12f,\frac12 g$ rendimientos $$ \left|f+g\right|^p \le 2^{p-1}\left(|f|^p+|g|^p \right) $$ por lo $f+g\in L^p$.

Observe que para $q$ satisfacción $\frac 1q + \frac 1p=1$, $$\begin{align} |f+g|^p &\le |f+g|^{p-1}(|f|+|g|) \\ \int|f+g|^p &\le \int|f||f+g|^{p-1} + \int|g||f+g|^{p-1} \\ &= ||f\cdot (f+g)^p ||_1 + ||g\cdot (f+g)^p ||_1 \\ ||f+g||^p_p&\le ||f||_p ||(f+g)^{p-1}||_q + ||g||_p ||(f+g)^{p-1}||_q \end{align}$$ por el Titular de la desigualdad.

Ahora, desde la $(p-1)q=p$ hemos $$\begin{align} ||(f+g)^{p-1}||_q &= \left(\int |f+g|^{(p-1)q}\right)^{\frac 1q} \\ & =\left(\int |f+g|^p\right)^{\frac 1q} \\ &= ||f+g||_p^{p/q}. \end{align}$$ Por la cancelación en ambos lados de $$||f+g||^p_p\le ||f||_p ||(f+g)^{p-1}||_q + ||g||_p ||(f+g)^{p-1}||_q$$ and noting that $p-p/q=1$, tenemos $$ ||f+g||_p \le ||f||_p + ||g||_p $$ como se requiere.

Sí, cada paso es clara y no es difícil de entender. Sin embargo, parece mágico para mí en varios pasos y no puedo intuitivamente siga el flujo lógico de la prueba. La prueba de la Titular de la desigualdad a través de la desigualdad de Jensen parece muy natural para mí, a diferencia de este. Voy a tratar de ser más específicos:

Mis preguntas

1. ¿Por qué debo esperar que la división de $|f+g|^p$ a $|f+g|^{p-1}(|f|+|g|)$ debe ser fructífera?

2. Hemos utilizado el hecho de que $(p-1)q=p$$p-p/q=1$. Mientras que no es difícil comprobar ellos de manera algebraica, hay una razón intuitiva para anticiparse a ellas de antemano?

3. ¿Cuál es la intuitiva/relación geométrica entre el par conjugado $p,q$ al lado de su algebraica de la relación de $\frac 1q+\frac 1p =1$? Sé que $(l^p)^*=l^q$ pero no estoy seguro de cómo podría ayudar.

En general, yo sólo quiero una mejor comprensión en la desigualdad de Minkowski. Cualquier contribución será muy apreciada incluso si no se abordan todos los de mi pregunta.

Answer 1

La importancia de $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ es que esto está relacionado con una interpolación. Para la exponencial, $$ \exp\left( \frac{1}{p}u + \frac{1}{q}v\right) \le \frac{1}{p}e^{u}+\frac{1}{q}e^{v}. $$ Dejar $u=\ln(x^p)$, $v=\ln(y^q)$ para $x > 0$ $y > 0$ da $$ xy \le \frac{1}{p}x^{p}+\frac{1}{q}y^q. $$ Por lo tanto, si $f\in L^p$$g\in L^q$, $fg\in L^1$ con $$ \int |fg|d\mu \le \frac{1}{p}\|f\|_p^p+\frac{1}{q}\|g\|_q^q \\ \int \frac{|fg|}{\|f\|_p\|g\|_q}d\mu \le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \\ \int |fg|d\mu \le \|f\|_p\|g\|_q. $$ Porque de esta interpolación, $$ |f+g| = |f+g|^\frac{1}{p}|f+g|^\frac{1}{q}=|f+g|^{\frac{1}{p}}|f+g|^{1-\frac{1}{p}} \\ |f+g|^{p} = |f+g||f+g|^{p-1} \le |f+g|^{p-1}|f|+|f+g|^{p-1}|g| % \\ % (p-1)q = (p-1)\frac{1}{1-1/p}=p $$ Esa es la razón por la división $|f+g|^{p}=|f+g|^{p-1}|f+g|$, y por qué se podría esperar que para producir algo útil.