La solución de $\int_0^\infty\dfrac{dx}{(1+x^n)^n}=1$

Question

Un amigo me ha desafiado a encontrar el valor de $n$ tal que $\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{dx}{(1+x^n)^n}=1.$ sé que el valor de $n$ es igual a$\phi,$, pero no sé cómo probar esto.

Answer 1

La parte fácil. Se puede observar que, por el cambio de variable $x \to \dfrac1x$, se obtiene $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^\phi)^\phi}&=\int_0^\infty\frac{x^{\phi^2-2}}{(1+x^\phi)^\phi}\:dx \\\\&=\int_0^\infty\frac{x^{\phi-1}}{(1+x^\phi)^\phi}\:dx \\\\&=\frac1{\phi}\int_0^\infty\frac{(1+x^{\phi})'}{(1+x^\phi)^\phi}\:dx \\\\&=\frac1{\phi}\int_1^\infty u^{-\phi}\:du \\\\&=\frac{1}{\phi(\phi-1)} \\\\&=1 \end{align} $$ if $\phi>1$ and $\phi^2=\phi+1$.

Answer 2

No veo la manera de hacerlo a menos que traiga a toda cosa a la función Beta con algunas inteligente (o tal vez trivial) de sustitución.

Decir, $t={1\over1+x^n}$. A continuación,$x=\sqrt[n]{{1\over t}-1}$. A continuación,$dx=-{dt\over n t^2({1/t}-1)^{1-1/n}}$, y $$\int_0^\infty\dfrac{dx}{(1+x^n)^n}=-\int_1^0t^n\left({1\over t}-1\right)^{{1\over n}-1}{dt\over n\cdot t^2}={1\over n}\int_0^1t^{n-1-{1\over n}}(1-t)^{{1\over n}-1}dt={1\over n}B\left(n-{1\over n},{1\over n}\right)={1\over n}\cdot{\Gamma\left(n-{1\over n}\right)\Gamma\left({1\over n}\right)\over \Gamma(n)}={\Gamma\left(n-{1\over n}\right)\Gamma\left(1+{1\over n}\right)\over \Gamma(n)}$$

En este punto, es bastante fácil de comprobar directamente que $n=\varphi$ encaja. (Tenga en cuenta que$\varphi-{1\over\varphi}=1$$1+{1\over\varphi}=\varphi$).

¿Qué podríamos hacer sin que afterknowledge, me pregunto...

Answer 3

SUGERENCIA:

Exigir la sustitución de $x=t^{1/n}$. A continuación, compruebe una ecuación resultante.

ALERTA de SPOILER: el cursor sobre el área resaltada para revelar la solución

Deje $I(n)$ ser la integral dada por $$I(n)=\int_0^\infty \frac{1}{(1+x^n)^n}\,dx \tag 1$$First note that the integral converges for $n>1$ and diverges otherwise. Next, enforcing the substitution $x= t^{1/n}$ in $(1)$ reveals $$\begin{align}I(n)&=\frac1n \int_0^\infty \frac{t^{1/n-1}}{(1+t)^n}\,dt\\\\&=\frac1n B(1/n,n-1/n)\\\\&=\frac{\Gamma(1/n)\Gamma(n-1/n)}{n\Gamma(n)}\end{align}$$Therefore, if $I(n)=1$, then $$\frac1n \Gamma(1/n)\Gamma(n-1/n)=\Gamma(n) \tag 2$$If $n=\phi>1$ in $(2)$, then $n-1/n=1$ and $(2)$ states that $\Gamma(\phi)=\frac1\phi \Gamma(1/\phi)=\Gamma(1+1/\phi)$. Since $1+1/\phi=\phi$, hemos terminado!