La búsqueda de soluciones a la ecuación de diophantine $7^a=3^b+100$

Question

Encuentre el entero positivo soluciones de la ecuación de diophantine $$7^a-3^b=100.$$

Hasta ahora, sólo he encontrado este grupo $7^3-3^5=100$.

Answer 1

Justo decir que la creación de esta prueba (especialmente la predicción de que el par ordenado de números primos $811$ $3889$ trabajo) está fuera del alcance de la mano cálculos, a pesar de todo lo utilizado puede ser confirmado por la mano. Tenemos $7^a = 3^b + 100,$ y la sospecha de que la mayor solución es $343 = 243 + 100.$ Bien, tome $7^a - 343 = 3^b - 243.$ Esto se convierte en $$ 343 ( 7^x - 1) = 243 ( 3^y - 1). $$ We are going to prove that we cannot accomplish this with $x,y \geq 1.$

Assuming $x,y \geq 1:$ Desde $$ 7^x \equiv 1 \pmod {243}, $$ we find $$ 81 | x \Longrightarrow 27 | x. $$

$$ 7^{27} - 1 = 2 \cdot 3^4 \cdot 19 \cdot 37 \cdot 109 \cdot 811 \cdot 1063 \cdot 2377 \cdot 2583253 $$ Esto divide $7^x - 1.$, En particular, $811 | (7^x - 1),$ $811 | (3^y - 1.)$

jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 811
811   810 = 2 * 3^4 * 5

$$ 3^y \equiv 1 \pmod {811} \Longrightarrow 810 | y \Longrightarrow 81 | y. $$

$$ 3^{81} - 1 = 2 \cdot 13 \cdot 109 \cdot 433 \cdot 757 \cdot 3889 \cdot 8209 \cdot \mbox{BIG} $$ En particular, $3^{81} - 1$ es divisible por $3889,$ $3^y - 1$ es divisible por $3889.$ a su vez, esto significa que $7^x - 1$ es divisible por $3889.$

$$ 7^x \equiv 1 \pmod {3889} \Longrightarrow 1944 | x \Longrightarrow 243 | x. $$

jagy@phobeusjunior:~$ ./order 7 3889
3889  1944 = 2^3 * 3^5

We have shown $243 | x.$ Sin embargo, $$ 7^{243} -1 = 2 \cdot 3^6 \cdot 19 \cdot 37 \cdot \mbox{Many More}$$ Esto significa que $$ 729 | (7^x - 1) $$ Esto contradice $$ 343 ( 7^x - 1) = 243 ( 3^y - 1) $$ with $x,y \geq 1.$

I learned this technique from Exponential Diophantine equation $7^y + 2 = 3^x$ I also placed three different examples as answers at Elementary solution of exponential Diophantine equation $2^x - 3^y = 7$.

Answer 2

Empezamos con $$ 7^a - 3^b = 100 = 7^3 - 3^5 \tag 1$$ reescribir $$ 7^a - 7^3 = 3^b - 3^5 \\ 7^{3+x} - 7^3 = 3^{5+y} - 3^5 $$ y el trabajo de la final ansatz,la búsqueda de positivos $x$ $y$ en $$ { 7^x -1 \over 3^5} = { 3^y-1\over 7^3 } \tag 2$$ "Por mano" podemos saber ya, que $3 \mid 7^1-1 $, por lo que el $3^5 \mid 7^{1 \cdot 3^4} -1 $ y otros el camino de ronda, que $7 \mid 3^6-1 $, por lo que el$7^3 \mid 3^{6 \cdot 7^2} -1 $, por lo que sabemos, que para cualquier solución debemos tener $x=3^4 \cdot x_1 = 81 x_1 $ $y=6 \cdot 7^2 \cdot y_1= 294 y_1$ y nuestra ecuación en el paso 1 se ve como $$ { 7^{3^4 x_1} -1 \over 3^5} = { 3^{6 \cdot 7^2 \cdot y_1}-1\over 7^3 } \tag 3$$ where $x_1$ and $y_1$ are some positive integer but with the restriction that $ 3 \, no\mediados de x_1$ and $ 7 \no\mediados de y_1$
Dejando $x_1=y_1=1$ en primer lugar, a continuación, este define un conjunto de primefactors en los numeradores de cada fracción que es demasiado para hacer a mano. Pero por lo menos podemos ver de inmediato, que se diferencian ya en el primefactors 2: mientras que $ 3^6 \equiv 1 \pmod {2^8}$ $ 7^1 \equiv 1 \pmod {2^1}$ por lo que el primefactorization de la lhs comienza con $2^1 \cdot ...$ y la de los rhs con $2^8 \cdot ... $ Aún con la mano es posible introducir la falta primefactors $2^7$ en el lado izquierdo por el aumento de la exponente, que $x_1 = 2^5 \cdot x_2 $ y obtenemos $$ { 7^{3^4 2^5 x_2} -1 \over 3^5} = { 3^{6 \cdot 7^2 \cdot y_1}-1\over 7^3 } \tag 4$$ Lo que el último procedimiento: adaptar el primefactorizations de ambos lados por la expansión de los exponentes ahora se repite hasta que en el lhs un primefactor $p$ debe ser insertada que tiene orden de $3^5$ con base $7$ de manera tal que el numerador es divisible por $3^6$ por $3^5$ y después de la cancelación de contra el denominador de una primefactor $3$ sigue siendo: a continuación, lhs y rhs no puede ser igual, porque la izquierda nunca puede suponer una primefactor $3$.
Por supuesto, esto no puede ser hecho a mano en corto tiempo, sin embargo, en principio se puede hacer y un pariente primitivo equipo-procedimiento encuentra $p=3889$ con el fin de $2^3 \cdot 3^5$ con base $7$ en dos iteraciones (usando la lista de ca 550 primero de los números primos...).

Así que esta respuesta no se ajusta a la condición de la recompensa, pero da una receta general - y, posiblemente, un acceso directo de la solución en la mano, quizás por alguna mancha de factoring, y tal vez el uso de partes de este ansatz, todavía se pueden encontrar.

---

Sólo para caracterizar a mi ansatz un poco más:

• una.1) inicializar PLIST una lista de los primeros números primos (decir 600, debe ser lo suficientemente largo para contener el final contradictorias primefactor, pero no contiene enorme primefactors) con sus multiplicativo de los pedidos para cada una de las dos bases, aquí $b_l=7, b_r=3$
• una.2) inicializar a encontrar el $n_1=3^4$ $m_1=6\cdot 7^2$ valores de la primera.
  (Yo denotar la ecuación de $(7^{n_k}-1)/3^5 \overset{?}= (3^{m_k}-1)/7^3$ donde $k$ indica la iteración-índice)

---

• b.1) Luego de PLIST y $n_k$ $m_k$ me encuentro dos conjuntos de LPF y RPF de primefactors que están en la función de los numeradores.
• b.2) a Continuación, me uno a LPF y el frente patriótico ruandés para obtener la ACB con todos los primefactors y sus máximos exponentes que se producen
• b.3) y calcular el $n_{k+1}$ $m_{k+1}$ respectivamente, tales que $b_l^{n_{k+1}}-1$ $b_r^{m_{k+1}}-1$ puede incluir todos los primefactors de la ACB.
  En cada uno de los primos de la ACB en este proceso de comprobar si $b_l^{n_{k+1}}-1$ contiene $3^6$ como factor (por supuesto, sólo la comprobación de si $n_{k+1}$ contiene $3^5$ debido a que el teorema de Euler), hacer lo mismo con $b_r^{m_{k+1}}-1$ $7^4$ como factor de analoguously. Si tal cosa ocurre, deje de impresión y el actual primefactor como "contradictorio" prime.

Repita b.1) a b.3) hasta la contradicción.

Este procedimiento se encuentra $p=3889$ después de dos iteraciones utilizando PLIST con $550$ más pequeño de los números primos.

Estoy seguro de que este simple automática y secuencial de búsqueda puede ser refinado por algunas inteligente de accesos directos, como algunos de los mejores árboles de decisión, tal vez en el sentido de cómo una navegación-equipo encuentra el menor/la ruta óptima de ubicación de Una ubicación B . Mi actual sencilla aplicación podría dar, por ejemplo, un "contradictorio prime" de la que Se Jagy del procedimiento daría (sin embargo, en este caso son el mismo)

Answer 3

$100$ no tiene raíz primitiva, por tanto, $7^m$ $3^n$ son congruentes con $1$ modulo $100$ para algunos enteros $m,n$ menor que $100$ y estos números deben dividir $100$. Tenemos $7^4\equiv 3^{20}\equiv 1\pmod{100}\Rightarrow 7^{4m}\equiv 3^{20n}\equiv 1\pmod {100}$, lo que podría ser un punto de partida para calcular las posibles soluciones. Sin embargo, podemos notar en esta búsqueda que (en el ring $\Bbb Z/100\Bbb Z$) la solución de $7^3=3^5+100$, por lo que tenemos $$\begin{cases}7^a=3^b+100\\7^3=3^5+100\end{cases}\Rightarrow 7^a-7^3=3^b-3^5$$ Para los valores de $a=1,2,3$ $b=1,2,3,4,5$ no es verificada a excepción de $(a,b)=(3,5)$ en el que no exista otra solución. Por lo tanto $a\gt 3$$b\gt 5$. Sigue $$7^3(7^{a-3}-1)=3^5(3^{b-5}-1)\Rightarrow 7^{a-3}=244=2^2\cdot61\text{ and } 3^{b-5}=344=2^3\cdot43$$ which is absurde. Consequently $(a,b)=(3,5)$ es la única solución.

Answer 4

Se está resolviendo $7^a - 3^b = 100$ en los enteros positivos.

Esta completa solución utiliza el reciente (que se encuentra en 1998) resultados por J. Gebel, A. Pethö, G. H. Zimmer, Mordell, etc. (ver este artículo).

Consulte este artículo para obtener información acerca de Mordell las ecuaciones.

mod $7$ da $b=6k+5$, $k\ge 0$, $k\in\mathbb Z$.

mod $9$ da $a=3m$, $m\ge 0$, $m\in\mathbb Z$.

$$\left(3\cdot 7^m\right)^3 = 2700 + \left(3^{3k+4}\right)^2$$

http://tnt.math.se.tmu.ac.jp/simath/MORDELL/

muestra que $3\cdot 7^m=21$, $3^{3k+4}=\pm 81$, es decir,$(m,k)=(1,0)$, es decir,$(a,b)=(3,5)$.

Answer 5

Esto es para Gottfried ejemplo, $$ 17^3 (17^x - 1) = 23^2 (23^y - 1), $$ mostrando que no podemos tener $x,y \geq 1. $ Oh, $$ 17^3 = 4913, $$ $$ 17^4 = 83521. $$

jagy@phobeusjunior:~$ ./order 23 4913
4913  4624 = 2^4 * 17^2
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 23 20231
20231   289 = 17^2
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 17 20231
20231 10115 = 5 * 7 * 17^2
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 17 1719551
1719551 10115 = 5 * 7 * 17^2
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 23 1719551
1719551 1719550 = 2 * 5^2 * 7 * 17^3
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 23 83521
83521 78608 = 2^4 * 17^3
jagy@phobeusjunior:~$ 

Hay un par de tareas en esto que se tomó el tiempo. He añadido un comando date a uno de ellos, resulta que tomó cerca de una hora de tiempo humano para imprimir la lista que yo quería, los 50 primeros números primos que iba a terminar esto:

jagy@phobeusjunior:~$ ./order_mult 23 4913
Thu Oct  6 09:51:53 PDT 2016
127739     63869 = 13 * 17^3     count   1
147391     73695 = 3 * 5 * 17^3     count   2
157217     39304 = 2^3 * 17^3     count   3
216173    216172 = 2^2 * 11 * 17^3     count   4
275129     19652 = 2^2 * 17^3     count   5
294781     24565 = 5 * 17^3     count   6
353737     39304 = 2^3 * 17^3     count   7
363563    363562 = 2 * 17^3 * 37     count   8
442171     44217 = 3^2 * 17^3     count   9
471649    471648 = 2^5 * 3 * 17^3     count   10
599387    299693 = 17^3 * 61     count   11
736951    245650 = 2 * 5^2 * 17^3     count   12
746777    373388 = 2^2 * 17^3 * 19     count   13
884341    176868 = 2^2 * 3^2 * 17^3     count   14
894167    447083 = 7 * 13 * 17^3     count   15
1012079    506039 = 17^3 * 103     count   16
1031731    103173 = 3 * 7 * 17^3     count   17
1100513     19652 = 2^2 * 17^3     count   18
1129991     49130 = 2 * 5 * 17^3     count   19
1188947   1188946 = 2 * 11^2 * 17^3     count   20
1326511    265302 = 2 * 3^3 * 17^3     count   21
1336337   1336336 = 2^4 * 17^4     count   22
1355989    677994 = 2 * 3 * 17^3 * 23     count   23
1395293   1395292 = 2^2 * 17^3 * 71     count   24
1424771   1424770 = 2 * 5 * 17^3 * 29     count   25
1454249   1454248 = 2^3 * 17^3 * 37     count   26
1591813    397953 = 3^4 * 17^3     count   27
1631117    815558 = 2 * 17^3 * 83     count   28
1680247    840123 = 3^2 * 17^3 * 19     count   29
1719551   1719550 = 2 * 5^2 * 7 * 17^3     count   30    *********************
1749029   1749028 = 2^2 * 17^3 * 89     count   31
1866941    933470 = 2 * 5 * 17^3 * 19     count   32
1945549    324258 = 2 * 3 * 11 * 17^3     count   33
1975027    329171 = 17^3 * 67     count   34
2063461    515865 = 3 * 5 * 7 * 17^3     count   35
2181373   2181372 = 2^2 * 3 * 17^3 * 37     count   36
2191199   2191198 = 2 * 17^3 * 223     count   37
2210851   1105425 = 3^2 * 5^2 * 17^3     count   38
2269807   2269806 = 2 * 3 * 7 * 11 * 17^3     count   39
2279633   2279632 = 2^4 * 17^3 * 29     count   40
2328763   2328762 = 2 * 3 * 17^3 * 79     count   41
2358241   2358240 = 2^5 * 3 * 5 * 17^3     count   42
2456501    614125 = 5^3 * 17^3     count   43
2505631   1252815 = 3 * 5 * 17^4     count   44
2535109    633777 = 3 * 17^3 * 43     count   45
2711977    677994 = 2 * 3 * 17^3 * 23     count   46
2810237    255476 = 2^2 * 13 * 17^3     count   47
2829889    943296 = 2^6 * 3 * 17^3     count   48
2898671   2898670 = 2 * 5 * 17^3 * 59     count   49
2918323   1459161 = 3^3 * 11 * 17^3     count   50
Thu Oct  6 10:53:07 PDT 2016
jagy@phobeusjunior:~$ 

---