¿Cómo funciona la regla de Cramer trabajo?

Question

Sé que la regla de Cramer obras de 3 ecuaciones lineales. Todos los pasos para obtener soluciones. Pero no sé por qué (cómo) la regla de Cramer nos dan soluciones?

Por qué no nos metemos $x=\frac{\Delta_1}\Delta$ $y$ $z$ en el mismo camino?

Quiero saber cómo estos pasos nos da soluciones?

Answer 1

Su realmente simple, quiero explicar aquí en dos variables, pero el principio es el mismo.

Digamos que tienes una ecuación $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p\\q \end{pmatrix}$$

Ahora usted puede ver que el siguiente tiene

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&0\\y&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p&b\\q &d\end{pmatrix}$$

Finalmente, sólo tomar el determinante de esta última ecuación, $\det$ es multiplicativo para obtener $$\Delta x=\Delta_1$$

Answer 2

La regla de Cramer es muy fácil de descubrir, porque si se resuelve el sistema de ecuaciones lineales \begin{align*} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 &= b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 &= b_2 \\ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 &= b_3 \\ \end{align*} por un lado, sólo el uso de un estándar de alta escuela de enfoque de la eliminación de las variables, luego se obtiene la regla de Cramer! En mi opinión, esta es la forma más probable de que un matemático podría descubrir el factor determinante en primer lugar, y la regla de Cramer es descubierto simultáneamente.

Recuerdo pensar que debe de ser muy difícil probar la regla de Cramer para un $n \times n$ matriz, pero resulta ser sorprendentemente fácil (una vez que usted toma el enfoque correcto). Vamos a demostrar a continuación.

La forma más útil de mirar el determinante, en mi opinión, es este: la función de $M \mapsto \det M$ es una alternancia de multilineal función de las columnas de a $M$ que satisface $\det(I) = 1$. Esta caracterización de los determinantes nos da una manera rápida, simple prueba de la regla de Cramer.

Por simplicidad, asumiremos $A$ $3 \times 3$ matriz con columnas $a_1, a_2, a_3$. Supongamos que $$b = Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3.$$ \begin{align*} \begin{vmatrix} b & a_2 & a_3 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} \\ &= x_1 \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} + x_2 \begin{vmatrix} a_2 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} + x_3 \begin{vmatrix} a_3 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} \\ &= x_1 \det A. \end{align*} Si $\det A \neq 0$, se deduce que $$ x_1 = \frac{\begin{vmatrix} b & a_2 & a_3 \end{vmatrix}}{\det}. $$

Me enteré de esta prueba en la sección 4.4, el problema 16 ("una prueba Rápida de la regla de Cramer") en Gilbert Strang del libro de Álgebra Lineal y sus Aplicaciones.

Answer 3

Aquí es una solución muy simple que utiliza sólo algunas de las propiedades de los determinantes. Considere el siguiente sistema:

$$ \left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{array} \right. $$ Suponga $\Delta\neq0$,, $$\requieren{acción}\begin{align} \Delta_1& \mathtip{=\left| \matrix{d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3}\right|}{\text{by definition of }\Delta_1} \\& \\ &\mathtip{=\left| \matrix{(a_1x+b_1y+c_1z) & b_1 & c_1 \\ (a_2x+b_2y+c_2z) & b_2 & c_2 \\ (a_3x+b_3y+c_3z) & b_3 & c_3}\right|}{\text{by the system of equations}} \\& \\ &\mathtip{=\left| \matrix{(a_1x+b_1y+c_1z)-(b_1y+c_1z) & b_1 & c_1 \\ (a_2x+b_2y+c_2z)-(b_2y+c_2z) & b_2 & c_2 \\ (a_3x+b_3y+c_3z)-(b_3y+c_3z) & b_3 & c_3}\right|}{\text{If a multiple of one column is added to another column, the value of the determinant is not changed.}} \\ & \\ &\mathtip{=\left| \matrix{a_1x & b_1 & c_1 \\ a_2x & b_2 & c_2 \\ a_3x & b_3 & c_3}\right|}{\text{Simplifying}} \\& \\ &\mathtip{= x\left| \matrix{a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3}\right|}{\text{If each entry in a given row is multiplied by %#%#%, then the value of the determinant is multiplied by %#%#%.}} \\& \\ &\mathtip{= x\Delta}{\text{by definition of }\Delta} \end{align}$k$x=\dfrac{\Delta_1}{\Delta}$. La prueba de ello es debido a la D. E. Whitford y M. S. Klamkin. ("En una escuela Primaria de la Derivación de la Regla de Cramer", American Mathematical Monthly, vol. 60 (1953), pp 186–7).