¿Existen números normales en cada base, excepto por uno?

Question

Un número $x$ se llama normal en base $b$ si cada secuencia de base $b$ dígitos $b_1b_2...b_n$ se produce con los naturales de la densidad de $1/b^n$ en la expansión decimal de $x$.

Existen números normales en cada base (llamado absolutamente normal) y los números irracionales normal en ninguna base (llamado absolutamente no-normal), se da un ejemplo aquí.

Se sabe si existen números que son normales en cada base, excepto uno o números que no sean normales en cada base, excepto uno?

La pregunta puede afirmar con bastante facilidad, pero una respuesta, probablemente, va a tomar un montón de esfuerzo, así que gracias de antemano, también para cualquier referencia a la literatura :).

Answer 1

Esto no es posible. En Kuipers, L. y Niederreiter, H. Uniforme la Distribución de las Secuencias (1974), usted puede encontrar el siguiente ejercicio, en la página de $77$:

Si $b_1$ $b_2$ son enteros $≥2$, de tal manera que uno es un racional de energía de la otra, entonces el $a$ es normal a la base de $b_1$ si y sólo si $a$ es normal a la base de $b_2$.

(Este es también el teorema 2.7. en Bailey, D. H. y Crandall, R. E. En el Carácter Aleatorio de la Constante Fundamental Expansiones, Experimento. Math., Volumen 10, Número 2 (2001), 175-190.)

Por lo tanto, si $x$ es un número real que es normal en cada base, pero uno, decir $b_1$, entonces en realidad no sería normal a la base de $b_1^2 \neq b_1$, contradiciendo la suposición. La situación es similar para los números que no son normales en cada base, excepto uno.

Answer 2

Teorema 1

Si $x$ es normal en una infinidad de bases de los poderes de la $b^k$, entonces es normal que en base a $b$.

Conclusión: Esto descarta su primera curiosidad.

Teorema 2:

Si $x$ no es normal en base $b^k$, entonces no puede ser normal en base $b$.

Conclusión: Esto descarta su segunda curiosidad.

Fuente de los teoremas: En los números de lo normal, Verónica Becher, página 20-21.

Answer 3

La mayoría de la respuesta general a la fecha de su pregunta viene de un artículo de Schmidt (http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa7/aa7311.pdf). Schmidt se mostró que si $A\subset \mathbb{N}_{\ge 2}$ es un conjunto cerrado bajo la multiplicación de la dependencia*, entonces no existe una cantidad no numerable de números que son normales para cada base $b\in A$ y no es normal para cada base $b\not \in A$. Y por un trabajo anterior de Maxfield y Cassels, si $A$ no es cerrado bajo la multiplicación de la dependencia, entonces no existe tal número. Ya que si falta un elemento de (resp., incluido en) un conjunto cerrado bajo la multiplicación de la dependencia, infinitamente muchos que faltan (resp, incluido). Por lo tanto, la respuesta a tu pregunta es no.

*Un conjunto es cerrado bajo la multiplicación de la dependencia si $n\in A$ implica que cada racional de energía de $n$ que es un número entero $>1$$A$.

He oído hablar de los números que son normales en algunas bases, pero no es normal es que a los demás se denomina de forma selectiva normal.

Como curiosidad, el problema de la caracterización de los posibles conjuntos de simple bases normales fue resuelto recientemente por Becher, Bugeaud, y Slaman (http://arxiv.org/pdf/1311.0332.pdf).