Significa=el modo implica una distribución simétrica?

Question

Sé que esta pregunta se ha hecho con el caso de la media=mediana, pero no he encontrado nada relacionado con media=modo.

Si el modo es igual a la media, puedo concluir que esta es una distribución simétrica? Voy a estar obligado a conocer también la mediana de esta manera?

Answer 1

Media = modo no implica simetría.

Incluso si media = mediana = modo que todavía no tienen necesariamente simetría.

Y en previsión de que el potencial de seguimiento, incluso si media=mediana=modo y el tercer momento central es cero (así que de momento la asimetría es 0), que todavía no tienen necesariamente simetría.

... pero no había un seguimiento para que uno. NickT frecuentes en los comentarios si tienen todos los momentos impares cero fue lo suficiente como para requerir la simetría. La respuesta también es no. [Ver la discusión al final.$^\dagger$]

Esas cosas están implícitas en la simetría (suponiendo que los momentos relevantes son finitos), pero la implicación de no ir por el otro camino - a pesar de los muchos primaria de texto diciendo claramente lo contrario acerca de uno o más de ellos.

Contraejemplos son bastante trivial para construir.

Considere la siguiente distribución discreta:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

Tiene la media, la mediana, la moda y el tercer momento central (y por lo tanto de momento asimetría) 0 todos pero es asimétrica.

Este tipo de ejemplo se puede hacer con una puramente distribución continua así. Por ejemplo, he aquí una densidad con las mismas propiedades:

Esta es una mezcla de simétrica, triangular densidades (cada una con rango de 2) con los medios de que -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 y la mezcla pesos 0.08, 0.08, 0.12, 0.08, 0.28, 0.08, 0.08, 0.20 respectivamente. El hecho de que acabo de hacer esto ahora-que nunca había visto antes -- sugiere la forma simple de estos casos son para construir.

[Elegí triangular componentes de la mezcla a fin de que el modo de ser visualmente inequívoca -- una más suave de distribución podría haber sido utilizado.]

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He aquí un adicional discretos ejemplo a la dirección de Hong Ooi preguntas acerca de cómo lejos de simetría de estas condiciones permiten que usted consiga. Este no es un caso límite, es justo lo que demuestra que es sencillo hacer un menos simétrica mirando ejemplo:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

El pico a 0 puede ser relativamente más altos o más bajos, sin cambiar las condiciones; de la misma manera que el punto a la derecha puede ser colocado más lejos (con una reducción en la probabilidad) sin cambiar las alturas relativas a la 1 y -2 por mucho (es decir, su probabilidad relativa permanecerá cerca de la proporción de 2:1 al mover el elemento situado más a la derecha).

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Más detalle en la respuesta a NickT la pregunta

$\dagger$ El de todos los pares de momentos cero caso es abordado en una serie de preguntas en el sitio. Hay un ejemplo aquí (ver el gráfico), basado en los detalles aquí (ver hacia el final de la respuesta). Que es un continuo unimodal asimétrico a la densidad con todos los momentos impares 0 y media=mediana=modo. La mediana es 0 por la mezcla al 50-50 de la construcción, el modo es 0 por la inspección -- todos los miembros de la familia en el real de la mitad de la línea a partir de la cual el ejemplo que se construye tiene una densidad que es monótona decreciente a partir de un número finito de valor en el origen, y la media es cero porque todos los momentos impares son 0.

Answer 2

Pruebe este juego de números:
\begin{align} X &= \{2,3,5,5,10\} \\[10pt] {\rm mean}(X) &= 5 \\ {\rm median}(X) &= 5 \\ {\rm mode}(X) &= 5 \end{align}

Yo no llamaría a eso de distribución simétrica.

Answer 3

No.

Deje $X$ ser una variable aleatoria discreta con $p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$, $p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$, y $p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$. Obviamente, $X$ no es simétrica, pero su media y la moda son 0.

Answer 4

Para repetir una respuesta que me dieron en otros lugares, pero encaja aquí también:

$$\mathbb{P}(X=n) = \left\{ \begin{array}{ll} 0.03 & n=-3 \\ 0.04 & n=-2 \\ 0.25 & n=-1 \\ 0.40 & n=0 \\ 0.15 & n=1 \\ 0.12 & n=2 \\ 0.01 & n=3 \end{array} \right.$$

que no sólo tiene la media, la mediana y el modo todos iguales, pero también tiene cero asimetría. Muchas otras versiones son posibles.