Una pelota de ping-pong dentro de una copa de vino

Question

Demuestre que una pelota de ping-pong de radio $r$ que se encuentra dentro de una copa de vino descrita por la función $x^2$ tiene su centro en $r^2+\frac{1}{4}$ unidades por encima del fondo del vaso.

He aquí una visualización del problema

Mi mejor intento es tratar de encontrar la derivada del círculo y la función para encontrar alguna relación en el punto donde se encuentran. El problema parecía muy sencillo al principio, pero ahora no puedo resolverlo.

Answer 1

Podemos demostrar este resultado invocando las propiedades geométricas de una parábola, recurriendo a un cálculo mínimo. En concreto, utilizaré dos propiedades bien conocidas:

1. Cualquier punto de una parábola es equidistante de su foco y su directriz. (Se deduce de la definición de parábola).

2. Dejemos que $A$ se encuentran en una parábola con foco $F$ y directriz $\ell$ . Entonces la tangente a la parábola en $A$ biseca $\angle FAA'$ donde $A'$ es la proyección de $A$ en $\ell$ . (Bien conocido, véase esta página en cut-the-knot para una prueba).

Supongamos ahora que $C$ es el centro del círculo (la pelota de ping-pong) y $A$ es el punto donde toca la parábola en el 2º cuadrante. Ahora dejemos que $X,Y$ sean las proyecciones de $A$ en $\ell$ (la directriz de la parábola) y el eje de la parábola respectivamente. Además, dejemos que $F$ sea el foco de la parábola. De la parábola $y=x^2$ , sólo tomaremos el hecho de que $FF'=\frac12$ y que $O$ biseca $FF'$ y luego olvida los ejes.

Ahora dejemos que $AX=x$ , entonces de la propiedad $1$ , $AF=x$ . Además, la línea discontinua $t$ la tangente a $\odot(C)$ y la parábola en $A$ , biseca $\angle FAX$ (propiedad $2$ ), y es perpendicular al radio $AC$ Así que $AC$ es la bisectriz externa de $\angle FAX$ . (Obsérvese que esto también se deduce de la propiedad óptica de la parábola.) Por tanto $\angle FAC=\angle PAC=\angle ACF$ (ya que $AP||CF$ ) $\implies FC=FA=x$ .

Ahora estamos listos para comenzar los pocos cálculos. $FY=YF'-FF'=AX-FF'=x-\frac12$ , $CY=CF-FY=x-\left(x-\frac12\right)=\frac12$ . Ahora desde el teorema de Pitágoras, $$\begin{align*}AY^2=&AF^2-FY^2=AC^2-CY^2\\ \implies & AC^2-CY^2=AF^2-FY^2\\ \implies &r^2-\left(\frac12\right)^2=x^2-\left(x-\frac12\right)^2\\ \implies &r^2=x.\end{align*}$$

Por lo tanto, la distancia deseada $CO=CF+FO=x+\frac14=r^2+\frac14$ . $\blacksquare$

Answer 2

Solución: Sea la ecuación del círculo $$(x)^2+(y-k)^2=r^2$$ y la ecuación de la parábola sea $$y=x^2$$ Entonces, debido a la simetría de la Parábola, ambas curvas se encontrarán en los puntos $(a,b)$ y $(-a,b)$ . En consecuencia, $b=a^2$ y $a^2+(b-k)^2=r^2$ Sustituyendo a $a^2$ en la segunda ecuación, obtenemos $$b+(b-k)^2=r^2$$ Además, como la parábola es tangente a la circunferencia, el gradiente en estos puntos es el mismo. Esto implica que $2a=\frac{a}{k-b}$ lo que implica además que $k-b=1/2$ como $a\neq0$ . Ahora, utilizando los dos resultados podemos concluir que $b=r^2-1/4$ lo que implica que $k=r^2+1/4$ . El valor de $k$ te da la altura del círculo sobre el eje x.

Answer 3

En alternativa, sin usar el cálculo, empezando como en la respuesta por Shrey Aryan $$ \left\{ \begin{gathered} x^2 + \left( {y - k} \right)^2 = r^2 \hfill \\ y = x^2 \hfill \\ \end{gathered} \right. $$ sustituir $x^2$ con $y$ $$ y + \left( {y - k} \right)^2 = r^2 \quad \Rightarrow \quad y^2 + \left( {1 - 2k} \right)y + k^2 - r^2 = 0 $$ esto nos da los dos valores de la ordenada de los puntos de cruce. Impongamos que sean coincidentes, es decir, que el discriminante sea nulo $$ \left( {1 - 2k} \right)^2 - 4\left( {k^2 - r^2 } \right) = 0\quad \Rightarrow \quad k = \frac{1} {4} + r^2 $$

Nota
Para tener en cuenta el comentario de mathmandan , obsérvese que las soluciones de la ecuación cuádrica en $y$ son: $$ y = \frac{{2k - 1 \pm \sqrt {\left( {2k - 1} \right)^2 - 4\left( {k^2 - r^2 } \right)} }} {2} $$ y para $k<1/2$ y discriminante positivo, uno de ellos es negativo, por lo que hay que descartarlo. Por lo tanto, o bien no tiene puntos comunes (discriminante negativo) , o bien tiene dos coincidentes en $y=0$ y $k=r$ o dos puntos de cruce cuando $k<r$ .
Como el radio de curvatura en el vértice de la parábola es $1/2$ para valores de $r$ más bajo que eso, sólo tendrás un punto de contacto.

Answer 4

El punto de una parábola es $\left(x,x^2\right)$ la normal en este punto tiene dirección $(-2x,1)$ . Es decir, la normal está parametrizada por $$ \left(x-2xt,x^2+t\right) $$ El punto del eje de la parábola ( $x=0$ ) está en $t=\frac12$ : $$ \left(0,x^2+\tfrac12\right) $$ La distancia de $\left(0,x^2+\tfrac12\right)$ a $\left(x,x^2\right)$ es $r=\sqrt{x^2+\frac14}$ . Este es el radio de una bola que sería tangente a la parábola en $\left(x,x^2\right)$ . El centro de esta bola estaría en $$ \left(0,r^2+\tfrac14\right) $$ siempre y cuando $r\ge\frac12$ . Cuando $r\lt\frac12$ entonces $x=\sqrt{r^2-\frac14}$ no es real. Entonces la bola se asienta en el fondo del vaso; su centro en $$ (0,r) $$ Aquí hay un gráfico de la copa y las bolas de radio $\left\{\frac14,\frac12,1,2\right\}$ :

Answer 5

El círculo general de la forma $x^2 + (y-b)^2 = r^2$ con centro en el $y$ -El eje se cruza con la parábola general $y = a x^2$ en cuatro puntos (permitiendo intersecciones repetidas, intersecciones complejas e intersecciones infinitas).

Es bastante fácil resolverlos: podemos reescribir la ecuación del círculo como

$$ \frac{1}{a} y + (y-b)^2 = r^2 $$ $$ y^2 + \left( \frac{1}{a} - 2b \right) y + (b^2 - r^2) = 0 $$

que nos permite resolver el $y$ coordenadas. Entonces $y=ax^2$ nos permite resolver el $x$ coordenadas.

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La configuración que buscas tiene el círculo tangente a la parábola: eso significa que cada intersección es un doble punto - los cuatro puntos de intersección deben tener el mismo $y$ coordinar. Por la fórmula cuadrática, las dos soluciones que obtenemos para $y$ son los mismos cuando

$$ \left(\frac{1}{a} - 2b \right)^2 - 4 (b^2 - r^2) = 0 $$

Te dejo que introduzcas los datos conocidos y resuelvas las incógnitas.