Sé que esto como resultado de la factorización de Birkhoff. Me fue asignado como un ejercicio en la geometría algebraica de la clase y se acercó con la siguiente tedioso prueba. A continuación presento el trabajo de más de $\mathbb{C}$, pero la prueba no hace uso de ninguna información acerca de la base de campo.
Cualquiera de los elementos de $\mathbb{C}[t, t^{-1}]$ puede ser escrito de una manera única en la forma $t^k f(t)$ donde $f$ es un polinomio con un valor distinto de cero término constante. Llamamos a $k$ el $t$-ádico de valoración de $t^k f(t)$.
Queremos clasificar a la doble cosets
\begin{ecuación} \text{GL}_n(\mathbb{C}[t]) \barra invertida \text{GL}_n(\mathbb{C}[t, t^{-1}]) / \text{GL}_n(\mathbb{C}[t^{-1}]). \end{ecuación}
Observar que a partir de una matriz en $\text{GL}_n(\mathbb{C}[t, t^{-1}])$ y la realización de $\mathbb{C}[t]$lineal fila operaciones resp. $\mathbb{C}[t^{-1}]$-lineal de la columna de operaciones de no cambiar el coset para los que la matriz pertenece.
A partir de esta matriz, realizar $\mathbb{C}[t]$-lineal de las filas de la siguiente manera. En primer lugar, considerar el $\mathbb{C}[t]$-submódulo de $\mathbb{C}[t, t^{-1}]$ generados por los elementos de la primera columna. Este submódulo es de $t^k$ veces un ideal de $\mathbb{C}[t]$ $k$, que es lo principal, por lo tanto es generado por un elemento. El uso de fila operaciones, reemplazar a una de las entradas de la columna por un generador, coloque en la fila superior, y eliminar el resto de las entradas en la columna. Repita el procedimiento para cada columna.
Después de realizar la por encima de la fila de las operaciones, se obtiene una triangular superior de la matriz en el mismo coset como el original. Cada una de las entradas de su diagonal es una unidad en $\mathbb{C}[t, t^{-1}]$, por lo tanto debe ser invertible constante de veces $t^k$ $k \in \mathbb{Z}$ (y multiplicando las filas o columnas adecuado constantes podemos asumir WLOG que tienen la forma $t^k$).
Ahora realice la siguiente secuencia de fila y columna de las operaciones en cada diagonal por encima de la diagonal principal (no pasar a una nueva diagonal hasta que cada entrada en la corriente de la diagonal es igual a cero). El uso de fila y columna de las operaciones, asegurar que cada término de la diagonal de la entrada $p(t)$ tiene la propiedad de que si $t^{\ell}$ es la diagonal principal de entrada a la izquierda y $t^d$ es la diagonal principal de entrada por debajo de ella, entonces $p(t)$ no contiene términos de grado mayor o igual a $d$ o menos de o igual a $\ell$. Vamos a abreviar esta situación con la de $2 \times 2$ matriz
\begin{ecuación} \left[ \begin{array}{cc} t^{\ell} y p(t) \\ 0 & t^d \end{array} \right] \end{ecuación}
donde $p(t) = \sum_{m=\ell+1}^{d-1} p_m t^m$. Deje que $k < 0$ ser el entero negativo tal que el mayor poder de la $t$ dividiendo $t^k p(t)$ es $t^{\ell}$, y realizar la operación de columna
\begin{ecuación} \left[ \begin{array}{cc} t^{\ell} - t^k p(t) y p(t) \\ -t^{d+k} & t^d \end{array} \right]. \end{ecuación}
Ahora realizar operaciones de fila a eliminar la parte inferior izquierda de la entrada. El resultado tendrá la forma
\begin{ecuación} \left[ \begin{array}{cc} t^{\ell'} & p'(t) \\ 0 & t^{d'} \end{array} \right] \end{ecuación}
donde $\ell'$ es el mínimo de $t$-ádico de valoración de $t^{\ell} - t^k p(t)$ (que es mayor que $\ell$) y $d+k$. Pero desde $p(t)$ por supuesto no contiene términos de grado mayor o igual que $m$, $d+k$ es necesariamente mayor que $\ell$. De ahí nuestra fila y columna de las operaciones se han asegurado de que $\ell' > \ell$ y $d' < d$. Si $p'(t) = 0$, estamos hecho y puede moverse a una nueva entrada en la misma diagonal o a una nueva diagonal. De lo contrario, repita el procedimiento. Después de un número finito de pasos, tendremos $\ell^{(N)} \ge d^{(N)}$ (donde $N$ es el número de pasos), en la que el punto $p^{(N)}(t)$ necesariamente se desvanece y se puede pasar a una entrada nueva o una nueva diagonal.
El algoritmo anterior eventualmente produce una matriz diagonal con entradas de la forma $t^k$ $k$, lo que muestra que cada doble coset en
\begin{ecuación} \text{GL}_n(\mathbb{C}[t]) \barra invertida \text{GL}_n(\mathbb{C}[t, t^{-1}]) / \text{GL}_n(\mathbb{C}[t^{-1}]). \end{ecuación}
contiene una matriz de la forma deseada. Queda demostrado que esta matriz es única hasta permutación de las entradas de su diagonal. Así que supongamos que dos diagonales de las matrices $D, D'$ diagonal con entradas de $t^{k_i}, t^{k_i'}$ se encuentran en la misma doble coset, por lo tanto, no existen $A \in \text{GL}_n(\mathbb{C}[t])$ y $B \in \text{GL}_n(\mathbb{C}[t^{-1}])$ tal que
\begin{ecuación} D' = A^{-1} DB. \end{ecuación}
Tomando determinantes vemos que $\sum k_i = \sum k_i'$. La reescritura de la anterior identidad como
\begin{ecuación} AD' = DB. \end{ecuación}
Deje de $a_{ij}, b_{ij}$ ser las entradas de $A, B$. A continuación, el de arriba te da
\begin{ecuación} t^{k_j} a_{ij} = t^{k_i'} b_{ij} \end{ecuación}
o
\begin{ecuación} b_{ij} = t^{k_j - k_i'} a_{ij}. \end{ecuación}
Desde $\sum k_i = \sum k_i'$, se sigue que $\sum (k_i - k_i') = 0$. Si $\sigma \en S_n$ es una permutación, se sigue que
\begin{ecuación} \sum_i (k_{\sigma(i)} - k_i') = 0 \end{ecuación}
de ahí que sea $k_{\sigma(i)} = k_i'$ para todo $i$ (en cuyo caso estamos hecho) o que existe una $i$ tales que $k_{\sigma(i)} - k_i' > 0$. Pero $a_{ij} \in \mathbb{C}[t]$ y $b_{ij} \in \mathbb{C}[t^{-1}]$, así que esto es posible si y sólo si $a_{ij} = b_{ij} = 0$. Dado que $a, B$ no son idénticamente igual a cero, no debe existir una permutación $\sigma$ tales que $k_{\sigma(i)} = k_i'$ para todo $i$, y la conclusión de la siguiente manera.
