$\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ sigue la regla de la mano derecha? ¿Por qué no la regla de la mano izquierda? ¿Por qué es $a b \sin (x)$ multiplicado por el vector perpendicular? ¿Por qué es $\sin (x)$ se utiliza con los vectores sino $\cos(x)$ es un producto escalar?
Entonces, ¿por qué es la cruz de producto definido en la forma que es? Principalmente estoy interesado en la regla de la mano derecha definición demasiado, ya que está fuera de su alcance?
El producto cruzado vino originalmente de los cuaterniones, que se extienden los números complejos con otros dos 'unidades imaginarias'$j$$k$, que no conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, usted puede tener $uv \neq vu$), sino satisfacer las relaciones
$$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 $$
AFAIK, esta es la forma exacta que Hamilton originalmente concebido. Es de suponer que la elección de $ijk = -1$ es simplemente debido a la comodidad en la escritura de esta fórmula de forma compacta, aunque podría haber sido fácilmente un artefacto de cómo llegó a ellos.
Vectoriales álgebra proviene de la separación de los cuaterniones en escalares (el real múltiplos de $1$) y vectores (el real de las combinaciones lineales de $i$, $j$, y $k$). El producto cruzado es, literalmente, sólo la componente vectorial de la ordinaria producto de dos vectores cuaterniones. (el escalar componente es el negativo del producto escalar)
La asociación de $i$, $j$, y $k$ a los vectores unitarios a lo largo de la $x$, $y$, y $z$ ejes es sólo lexicográfica conveniencia; te estás asociando a ellos en orden alfabético.
Si la regla de la mano derecha parece demasiado arbitrarias, el uso de una definición de la cruz del producto que no hace uso de ella (de forma explícita). Aquí es una manera de construir el producto cruzado:
Recordemos que el (firmado) el volumen de un paralelepípedo en $\Bbb R^3$ con lados de $a, b, c$ está dado por
$$\textrm{Vol} = \det(a,b,c)$$
donde $\det(a,b,c) := \begin{vmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix}$.
Ahora vamos a arreglar $b$ $c$ y permitirle $a$ a variar. Entonces, ¿cuál es el volumen en términos de $a = (a_1, a_2, a_3)$? Vamos a ver:
$$\begin{align}\textrm{Vol} = \begin{vmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix} &= a_1\begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3\end{vmatrix} - a_2\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3\end{vmatrix} + a_3\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{vmatrix} \\ &= a_1(b_2c_3-b_3c_2)+a_2(b_3c_1-b_1c_3)+a_3(b_1c_2-b_2c_1) \\ &= (a_1, a_2, a_3)\cdot (b_2c_3-b_3c_2,b_3c_1-b_1c_3,b_1c_2-b_2c_1)\end{align}$$
Así que al parecer el volumen de un parallelopiped siempre será el vector $a$ de puntos con este interesante vector $(b_2c_3-b_3c_2,b_3c_1-b_1c_3,b_1c_2-b_2c_1)$. Es lo que llamamos vector de la cruz del producto y denota $b\times c$.
A partir de la anterior construcción podemos definir el producto cruzado de dos formas equivalentes:
Definición Implícita
Deje $b,c\in \Bbb R^3$. Luego de definir el vector $d = b\times c$ $$a\cdot d = \det(a,b,c),\qquad \forall a\in\Bbb R^3$$
Definición Explícita
Vamos $b=(b_1,b_2,b_3)$, $c=(c_1,c_2,c_3)$. Luego de definir el vector $b\times c$ $$b\times c = (b_2c_3-b_3c_2,b_3c_1-b_1c_3,b_1c_2-b_2c_1)$$
Ahora te estás preguntando dónde arbitrario diestros se fue. Seguramente debe estar oculto en alguna parte. Es. Es en la orden de bases soy implícitamente usando para dar las coordenadas de cada uno de mis vectores. Si usted elige un diestro sistema de coordenadas, a continuación, obtendrá un diestro de producto cruzado. Si usted elige un sistema de coordenadas de mano, entonces usted va a obtener un left-handed de producto cruzado. Por lo que esta definición esencialmente turnos de la elección de la quiralidad en la base para el espacio. Esto es en realidad bastante agradable (al menos para mí).
Las otras propiedades de la cruz del producto son fácilmente verificado a partir de esta definición. Por ejemplo, pruebe a comprobar que $b\times c$ es ortogonal tanto a $b$$c$. Si conoces las propiedades de los determinantes que deben ser inmediatamente evidentes. Otra de las propiedades del producto cruz, $\|b\times c\| = \|b\|\|c\|\sin(\theta)$, es fácilmente determinado por la geometría de la construcción. Dibujar una imagen y ver si usted puede verificar esto.
Bueno, uno puede ver que la regla como es en fin de acuerdo con la orientación estándar de $\mathbb{R}^3$ $(e_1 \times e_2=e_3)$. O simplemente convención.
Hay una manera de ver cómo esto puede suceder "naturalmente", sin embargo.
Dado $a,b \in \mathbb{R}^3$, $a \times b$ es el vector que sale de representación de Riesz teorema (una forma elegante de decir que $V \simeq V^*$ mediante el isomorfismo dada por el producto interior) que se aplica a la funcional lineal
$$\det(\cdot, a,b).$$
Calcular el vector de rendimientos tanto en el hecho de que tiene sus normas, siendo lo que debe ser y de su dirección también de ser lo que debería ser.
Para llegar a la otra dirección, tendríamos que invertir $a,b$, teniendo en cuenta $a \times b$ a venir desde el vector correspondiente a $\det(\cdot, b,a)$, un "antinatural".
el Gibbs Vectoriales Álgebra Cruz del Producto Regla de la Mano Derecha es una Convención
Cualquier descripción de la (nominalmente) Euclidiana 3 dimensiones mundo que percibimos se ejecuta en Quiralidad, la distinción entre la Derecha y la Izquierda, la imparcialidad, la diferencia en un Espejo de la Reflexión. https://en.wikipedia.org/wiki/Chirality
Un Sistema Matemático que describe este mundo tiene que tener un Convenio para coordinar el orden, la orientación.
Las justificaciones de la Regla de la Mano Derecha para el Vector de Productos cruzados son una consecuencia de la elección de la Quiralidad en la que el "Estándar" y son circulares, no profunda - usted solo tiene que elegir.
De hecho, la otra opción que se ha utilizado: http://web.stanford.edu/class/me331b/documents/VectorBasisIndependent.pdf
La mano derecha de la norma es la recientemente aprobada convención universal, como la conducción en el lado derecho de la carretera en el Norte de América. Hasta 1965, la Unión Soviética usó la parte izquierda de la regla, lógicamente el razonamiento de que la izquierda-la regla de la mano es más conveniente, porque una persona diestra se puede escribir de forma simultánea, mientras que la realización de los productos cruzados.
Esto puede ser un poco demasiado profundo pero vamos a $V$ ser finito dimensional espacio vectorial con base $v_1,...,v_n$. Podemos decir $(v_1,...,v_n)$ es una orientada a base de $V$. Podemos definir una clase de equivalencia en las orientaciones de la $V$ $[v_1,...,v_n] \sim [b_1,...,b_n] \iff [v_1,...,v_n] = A[b_1,...,b_n]$ (donde $A$ es la matriz de transición) y $\textbf{det}(A)>0$. Por lo tanto, las orientaciones se dividen en dos clases: positivos y negativos. Si dejamos $\textbf{e}^1,...,\textbf{e}^n$ ser el estándar de base para $\mathbb{R}^n$, entonces si queremos comprobar que $[b_1,...,b_n] \sim [\textbf{e}^1,...,\textbf{e}^n]$, a continuación, simplemente tenemos que mirar;
$$\textbf{det}\left(\begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{bmatrix}\right) >0$$
Desde $A = [b_i]$ es la matriz de cambio de base.
$$\\$$
Edit (1): de Arriba da una generalización de la determinación de la orientación. En tu caso tendrás $E=[\textbf{e}^1,\textbf{e}^2, \textbf{e}^3]$, lo que da resultado positivo de la orientación y de la "regla de la mano derecha" debe ser considerado como una propiedad geométrica que uno puede comprobar sin saber toda la información que he presentado anteriormente.
Editar (2): En lo que respecta a su pregunta acerca de por qué $\sin \theta, \cos \theta$ se utilizan en ciertas situaciones es también debido a la geometría. El área de un paralelogramo es la base de $\times$ altura $= |\vec{a} \times \vec{b}| \sin \theta$ donde $\vec{a}, \vec{b}$ span paralelogramo.
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