Productos equivalentes del interior en un espacio de Hilbert

Question

Tomar un espacio de Hilbert $(\mathcal H,(\cdot,\cdot)_{\mathcal H})$ y dos interiores equivalentes productos $(\cdot,\cdot)_1$$(\cdot,\cdot)_2$$\mathcal H$, es decir, que no se $a,b \in \mathbb R$ $0 < a \leq b$ satisfactorio $$ a (f,f)_1 \leq (f,f)_2 \leq b(f,f)_1 \quad \forall f \in \mathcal H $$ Supongamos que la métrica inducida por $(\cdot,\cdot)_i$ $(\mathcal H,(\cdot,\cdot)_i)$ un espacio de Hilbert. De este modo se consigue una relación de equivalencia $\sim$ en el conjunto de $X$ del interior de los productos en $\mathcal H$.

• Si $A : \mathcal H \to \mathcal H$, con respecto al producto interior de $\mathcal H$, un resultado positivo, es invertible auto-adjunto del operador, a continuación, $$ \mathcal H \times \mathcal H \ni (f,g) \mapsto (Af,g) \in\mathbb C $$ es un producto interior en $\mathcal H$ equivalente a $(\cdot,\cdot)_{\mathcal H}$.
• Si $H,K \in X$ son tales que $H \sim K$, es cierto que $H$ $K$ están relacionados por un operador $A : (\mathcal H,H) \to (\mathcal H,H)$ como en el punto anterior?
• ¿Qué se puede decir en $\tilde X := X/\sim$? Cuántos no equivalentes interior de los productos en $\mathcal H$ hay? Es allí una manera de clasificarlos?

Para el segundo punto, suponiendo que $(\mathcal H,H)$ $(\mathcal H,K)$ son separables, pensé en tomar dos sistemas ortonormales completos $\{a_i\}_{i \in I}$ $(\mathcal H,H)$ $\{b_i\}_{i \in I}$ $(\mathcal H,K)$ y definen $A := T^* T$ donde $T : (\mathcal H,H) \to (\mathcal H,H)$ está definido por $$ f \mapsto Tf := \sum_{i \in I} K(f,b_i) a_i $$ De esta manera, el uso de $H(a_i,a_j) = \delta_{ij} = K(b_i,b_j)$ , $$ \begin{align*} H(f,Ag) = H(Tf,Tg) &= \sum_{i,j,k \in I} K(f,b_i) H(a_i,a_j) K(b_j,g) \\ &= \sum_{i,j,k \in I} K(f,b_i) K(b_i,b_j) K(b_j,g) = K(f,g) \end{align*} $$ Es este razonamiento válido? ¿Qué se puede decir en general?

Answer 1

La primera observación a realizar es que, dada una limitada sesquilinear forma$B$$\mathcal{H}$, es decir, de una forma tal que $|B(x,y)| \leq \|B\|\,\|x\|\,\|y\|$, no existe un único delimitada lineal operador $T$ $\mathcal{H}$ tal que $B(x,y) = \langle x,Ty \rangle$ $\|T\| = \|B\|$ por la representación de Riesz teorema (ver Pedersen, Análisis, Lema 3.2.2, p.89 para más detalles).

Si $B$ es Hermitian, la identidad $$\langle x, Ty \rangle = B(x,y) = \overline{B(y,x)} = \overline{\langle y, Tx \rangle} = \langle Tx, y\rangle = \langle x, T^{\ast}y\rangle$$ muestra que $T = T^{\ast}$, lo $T$ es auto-adjunto.

Si $B$ es positiva definida, a continuación, de curso $T$ debe ser inyectiva, pero no tiene que ser invertible (un inyectiva auto-adjunto operador ha densa gama, por supuesto).

No es difícil demostrar que su equivalencia en relación escalar productos implica que el operador $T$ es acotada y delimitada lejos de cero, y como es auto-adjunto, esto significa que $T$ es invertible, ver Pedersen, la Proposición 3.2.6, página 90.

Por el contrario, si $T$ es acotado, auto-adjuntos y invertible, entonces a $T$ se apartó de cero y, por tanto, los productos escalares $\langle x, Ty \rangle$ $\langle x,y\rangle$ son equivalentes.

Es claro que para que un producto escalar $B$ la condición $$a \langle x,x \rangle \leq B(x,x) \leq b\langle x,x\rangle \quad \text{for all } x \in \mathcal H$$ implica que $\mathcal{H}$ se completa con respeto a $B$, por lo que podemos resumir:

Si un producto escalar $B$ satisface $a \|x\|^2 \leq B(x,x) \leq b \|x\|^2$ todos los $x$ $B(x,y) = \langle x, Ty \rangle$ para un único delimitada, invertible auto-adjunto del operador $T$. Por el contrario, para cada acotado, invertible auto-adjunto del operador llegamos equivalente escalar productos.

En particular, no es sólo una clase de equivalencia de productos escalares. Está claro que puede realizar todo esto con bases así, y, como dijo Willie, su razonamiento es correcto. Sin embargo, estos cálculos parecen más involucrados para mí que las consideraciones anteriores.

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Añadió:

Estrechamente relacionadas con el resultado que me han mencionado, es el de Lax–Milgram teorema.