Demostrar la desigualdad $\,\frac{1}{\sqrt{1}+ \sqrt{3}} +\frac{1}{\sqrt{5}+ \sqrt{7} }+\ldots+\frac{1}{\sqrt{9997}+\sqrt{9999}}\gt 24$

Question

Demostrar la desigualdad $$ \frac{1}{\sqrt{1}+ \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}+ \sqrt{7}} +... + \frac{1}{\sqrt{9997}+\sqrt{9999}} > 24

Mi trabajo:

Racionalizar el denominador da

$$\frac{\sqrt{3}-1}{2} +\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+......+\frac{\sqrt{9999}-\sqrt{9997}}{2} .$$

Ahora tomando dos como común y separando los términos positivos y negativos da

$$\frac{1}{2} [ \{\sqrt{3} +\sqrt{7}+\dots +\sqrt{9999}\} - \{1+\sqrt{5} +\dots+\sqrt{9997}\}].$$

Podemos como este por favor sugerimos. Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\frac{\sqrt{3}-1}{2}>\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$, etc. ya $\sqrt{\phantom{x}}$ es cóncava hacia abajo. Tan dos veces el lado izquierdo es mayor que una suma telescópica.

Answer 2

Sugerencia: Telescopio su suma racionalizada añadiendo términos.

Answer 3

Otra idea: considerando concavidad y un extremo izquierdo de la aproximación, la suma deseada es una sobreestimación de la siguiente integral:

$$\frac{1}{2}\int_0^{2500}\sqrt{4x+3}-\sqrt{4x+1}\approx 24.6528$$

Más explícitamente, la notificación de que su suma es:

$$\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{2499}\sqrt{4n+3}-\sqrt{4n+1}$$

Podemos pensar en esto como una mitad de la suma de las áreas de $2500$ rectángulos de anchura $1$ y la altura de la $\sqrt{4n+3}-\sqrt{4n+1}$. Estos rectángulos se puede visualizar en el plano de la siguiente manera: considere las dos curvas de $f(x)=\sqrt{4x+3}$$g(x)=\sqrt{4x+1}$. El $n$th rectángulo (empezando a contar desde $0$) se formó entonces la $4$ puntos de:

$$(n,f(n)),(n,g(n)),(n+1,f(n)),(n+1,g(n))$$

Observe que la base tiene una longitud de $1$, y la altura es exactamente $\sqrt{4n+3}-\sqrt{4n+1}$. También, observe que el área del rectángulo es bien aproximada por el área entre las dos curvas, y de hecho es una sobreestimación si se considera el hecho de que la curva superior siempre tiene una menor pendiente. Esto significa que el área entre estas dos curvas de $x=0$ $x=2500$es una estimación de la suma deseada. Esto es lo que la integral anterior calcula el área entre las dos curvas.

Answer 4

Otra idea: utilizar la desigualdad $$\frac{1}{\sqrt{2n-1} +\sqrt{2n+1}}\gt\frac{1}{2\sqrt{2n}}, n\ge1 obtenemos la cadena de folliwng de acciones/desigualdades: %#% $ de #% la última desigualdad se obtiene mediante la desigualdad promedio de raíz cuadrada media armónica