La antiderivada está bien definido sólo hasta la adición de un local* constante. Para ser más precisos, se puede especificar explícitamente una relación de equivalencia en lugar de escribir la igualdad. Que es, podríamos escribir algo como
$$ \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x \equiv \ln x $$
donde la equivalencia de los medios de la muestra
$ f \equiv g$ si y sólo si existe una constante local $C$ tal que, para todos los valores de $x$, $g(x)-f(x) = C$
(tenga en cuenta que un único valor de $C$ se supone que funciona para todos los $x$)
Ahora, con este convenio, la ecuación debe ser por escrito
$$ \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x \equiv 1 + \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x $$
Y luego, cuando nos resta fuera de la integral de ambos lados (lo que podemos hacer, porque $\int f \mathrm{d}x \equiv \int f \mathrm{d}x$), obtenemos
$$ 0 \equiv 1 $$
Y esto es cierto: por ejemplo, podríamos recoger $C=1$ si sustituimos en la definición de la equivalencia.
Por convención, sabemos que si una antiderivada aparece en una ecuación, la ecuación que supone una equivalencia, no una igualdad. Por escrito la relación de equivalencia de forma explícita, nos ayuda a evitar un error ... cuando nos cancelar la antiderivada, podríamos erróneamente que olvidar que el resultado es todavía sólo supone una equivalencia.
*: En muchas situaciones, los "locales " constante" significa, simplemente, "constante". Sin embargo, en situaciones en las que estamos interesados en un dominio que se compone de desconectado intervalos-por ejemplo, cuando se considera la función de $1/x$ sobre el dominio de todos los números reales distintos de cero-no puede ser constantes diferentes en cada intervalo. por ejemplo, $f'(x) = 1/x$ si y sólo si existen constantes $A$ $B$ tal que
$$ f(x) = \begin{cases} \ln(x) + A & x > 0 \\ \ln(-x) + B & x < 0 \end{cases} $$
o dicho de otra manera, $ f(x) = \ln |x| + C(x)$ donde $C$ es la función
$$ C(x) = \begin{cases} A & x > 0 \\ B & x < 0 \end{cases} $$
La terminología local "constante" es en referencia a la idea de que cerca de cualquier punto en particular en el dominio, es decir, los 'locales' que punto, la función es en realidad constante. por ejemplo, cerca de $a = 0.01$, $C(x)$ es simplemente el valor de la constante $A$ cualquier $x$$|x-a| < 0.01$.
