Cómo puedo probar que $xy\leq x^2+y^2$?

Question

Cómo puedo probar que $xy\leq x^2+y^2$ para todo $x,y\in\mathbb{R}$ ?

Answer 1

$$x^2+y^2-xy=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{(x-y)^2}{2}$$

Answer 2

El uso de coordenadas polares: $$x=r \cos \theta,y=r \sin \theta $$

Su desigualdad se convierte en $$r^2 \cos \theta \sin \theta \leq r^2 $$

lo cual es bastante trivial.

Answer 3

A pesar de que hay muy pocas pruebas ya dado, me gustaría añadir una visual.

Answer 4

otra de las interesantes respuestas - tal vez los más interesantes:

$$x^2+y^2-xy=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4} \geq 0.$$

Answer 5

Por $xy<0$, esto es trivial

Usted puede hacer mejor, demostrando a $2xy \leq x^2 + y^2$. Mover $2xy$ a la derecha y factorise