Visualizar la distribución binomial bivariada

Question

Pregunta: ¿qué aspecto tiene una distribución binomial bivariada en un espacio tridimensional?

A continuación se muestra la función específica que me gustaría visualizar para varios valores de los parámetros; a saber $n$ , $p_{1}$ y $p_{2}$ .

$$f(x_{1},x_{2}) = \frac{n!}{x_{1}!x_{2}!}p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}, \qquad x_{1}+x_{2}=n, \quad p_{1}+p_{2}=1.$$

Obsérvese que hay dos restricciones; $x_{1}+x_{2}=n$ y $p_{1}+p_{2}=1$ . Además, $n$ es un número entero positivo, por ejemplo, $5$ .

He hecho dos intentos de trazar la función utilizando LaTeX (TikZ/PGFPLOTS). Al hacerlo, obtengo los gráficos de abajo para los siguientes valores: $n=5$ , $p_{1}=0.1$ y $p_{2}=0.9$ y.., $n=5$ , $p_{1}=0.4$ y $p_{2}=0.6$ respectivamente. No he conseguido implementar la restricción de los valores del dominio; $x_{1}+x_{2}=n$ Así que estoy un poco perplejo.

Una visualización producida en cualquier lenguaje estaría bien (R, MATLAB, etc.), pero estoy trabajando en LaTeX con TikZ/PGFPLOTS.

Primer intento

$n=5$ , $p_{1}=0.1$ y $p_{2}=0.9$

Segundo intento

$n=5$ , $p_{1}=0.4$ y $p_{2}=0.6$

Editar:

Como referencia, aquí es un artículo que contiene algunos gráficos. El título del artículo es "A new bivariate binomial distribution", de Atanu Biswasa y Jing-Shiang Hwang. Statistics & Probability Letters 60 (2002) 231-240.

Editar 2: Para mayor claridad, y en respuesta a @GlenB en los comentarios, a continuación se muestra una instantánea de cómo se ha presentado la distribución en mi libro. El libro no hace referencia a casos degenerados / no degenerados y demás. Simplemente lo presenta así y yo he buscado visualizarlo. Saludos. Además, como señala @JohnK, es probable que haya una errata con respecto a x1+x1=1, que él sugiere que debería ser x1+x1=n.

Imagen de la ecuación de:

Spanos, A (1986) Statistical foundations of econometric modelling. Cambridge University Press

Answer 1

Esto tiene dos partes: primero hay que averiguar cuáles son las probabilidades individuales y luego hay que trazarlas de alguna manera.

Un PMF binomial no es más que un conjunto de probabilidades sobre un número de "éxitos". Un PMF binomial bivariante será un conjunto de probabilidades sobre una red de posibles combinaciones de "éxitos". En su caso, tiene $n_i = n_j = 5$ por lo que (teniendo en cuenta que $0$ éxitos es una posibilidad) hay $6\times 6 = 36$ posibles resultados en la red / distribución binomial bivariada.

Primero podemos calcular las PMF binomiales marginales, porque eso es muy sencillo. Como las variables son independientes, cada probabilidad conjunta será simplemente el producto de las probabilidades marginales; esto es álgebra matricial. Aquí demuestro este proceso utilizando R código:

b1 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.1);  sum(b1)  # [1] 1
b9 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.9);  sum(b9)  # [1] 1
b4 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.4);  sum(b4)  # [1] 1
b6 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.6);  sum(b6)  # [1] 1

b19 = b1%o%b9;  sum(b19)  # [1] 1
rownames(b19) <- colnames(b19) <- as.character(0:5)
round(b19, 6)
#       0        1        2        3        4        5
# 0 6e-06 0.000266 0.004783 0.043047 0.193710 0.348678
# 1 3e-06 0.000148 0.002657 0.023915 0.107617 0.193710
# 2 1e-06 0.000033 0.000590 0.005314 0.023915 0.043047
# 3 0e+00 0.000004 0.000066 0.000590 0.002657 0.004783
# 4 0e+00 0.000000 0.000004 0.000033 0.000148 0.000266
# 5 0e+00 0.000000 0.000000 0.000001 0.000003 0.000006
b46 = b4%o%b6;  sum(b46)  # [1] 1
rownames(b46) <- colnames(b46) <- as.character(0:5)
round(b46, 3)
#       0     1     2     3     4     5
# 0 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 1 0.003 0.020 0.060 0.090 0.067 0.020
# 2 0.004 0.027 0.080 0.119 0.090 0.027
# 3 0.002 0.018 0.053 0.080 0.060 0.018
# 4 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 5 0.000 0.001 0.002 0.004 0.003 0.001

En este punto, tenemos las dos matrices de probabilidades necesarias. Sólo tenemos que decidir cómo queremos representarlas. Para ser sincero, no soy un gran fan de los gráficos de barras en 3D. Porque R parece estar de acuerdo conmigo, hice estos gráficos en Excel:

b19 :

b46 :

Answer 2

La respuesta de gung es una buena respuesta para una binomial bivariada real, explicando bien los problemas (yo recomendaría aceptarla como una buena respuesta a la pregunta del título, que probablemente sea útil para otros).

El objeto matemático que realmente presentas en tu edición es realmente una binomial escalada univariante. Aquí $x_1$ no es el valor que toma la cuenta binomial sino la proporción (la binomial dividida por $n$ ).

Así que definamos bien las cosas. Obsérvese que no se ofrece ninguna definición de la variable aleatoria, así que nos quedamos con algunas conjeturas.

Dejemos que $Y_1\sim \text{binomial}(n,p_1),\:$ Obsérvese que cuando damos una fórmula matemática para $P(Y_1=y_1)$ es necesario qué valores $y_1$ puede tomar, así que $y_1=0,1,...,n$ . Sea $X_1=Y_1/n$ y observe que $x_1=0,\frac16,\frac26,...,1$ .

Entonces la ecuación que das es la pmf para $P(X_1=x_1)$ (señalando que $x_2=n-x_1$ y $p_2=1-p_1$ ).

Para $n=6,p_1=0.3$ se ve así:

Podemos poner $x_2$ en el gráfico anterior, simplemente colocando un segundo conjunto de etiquetas bajo el $x_1$ valores iguales a $1-x_1$ (quizás en un color diferente) para indicar el valor tomado por $x_2$ .

Podríamos considerarlo como una binomial bivariada degenerada (a escala):

pero es un poco exagerado llamar a lo que se define en el libro una binomial bivariada, (ya que es efectivamente una binomial univariada).

Suponiendo que alguien quiera generar un gráfico similar al de 3D, este pequeño trozo de código (R) se acerca bastante al segundo gráfico anterior:

y = 0:6
x1 = y/6
x2 = 1-x1
p = dbinom(y,6,.3)
scatterplot3d(x1,x2,p,grid=TRUE, box=FALSE, cex.lab=1.2,
        color=3, cex.main=1.4,pch=21,bg=1,, type="h",angle=120,
        main="degenerate scaled binomial", ylab="x2", xlab="x1", 
        zlab="prob")

(Se necesita el scatterplot3d que contiene la función del mismo nombre).

Una binomial bivariada "verdadera" (no degenerada) tiene variación en ambas variables a la vez. He aquí un ejemplo de un tipo particular de binomio bivariante (no independiente en este caso). He recurrido a utilizar diferentes colores en el gráfico porque, de otro modo, es demasiado fácil perderse en el bosque de "palos".

Hay muchas formas de obtener un objeto que podría llamarse binomio bivariado; este tipo particular es uno en el que se tiene $X\sim\text{bin}(n_0,p)$ , $Y\sim\text{bin}(n_y,p)$ , $Z\sim\text{bin}(n_z,p)$ (todos independientes), entonces dejemos que $X_1=X+Y$ y $X_2=X+Z$ .

Así se obtiene el binomio $X_1$ y $X_2$ que están correlacionados (pero tiene la desventaja de que no produce correlaciones negativas).

Una expresión para la pmf de este tipo particular de distribución binomial bivariada se da en Hamdan, 1972 [1] pero no utilicé ese cálculo; uno puede hacer fácilmente el cálculo directo (convolución numérica). En este caso particular $n_0$ era de 4 y $n_y$ y $n_z$ eran sólo 2 cada uno, por lo que el cálculo numérico directo en toda la cuadrícula (49 valores en el resultado final) no es difícil ni oneroso. Se empieza con una bivariable degenerada (ambas dimensiones $=X$ ) similar a la degenerada de la imagen anterior (pero más pequeña y en la "diagonal principal" - $x_1=x_2$ en lugar de la antidiagonal ( $x_1+x_2=n$ ) y luego se suman los componentes independientes, repartiendo la probabilidad a lo largo y fuera de la diagonal.

[1]: Hamdan, M.A. (1972),
"Expansión canónica de la distribución binomial bivariada con índices marginales desiguales"
Revista Internacional de Estadística , 40 :3 (dic.), pp. 277-280

Answer 3

Mathematica es ahora bastante fuerte en estas cosas - tiene la solución de su problema justo en documentación . Con pequeños añadidos he hecho un modelo para jugar (con p = p1 = 0.4 para una mejor presentación visual). Así es como se ve la interfaz y cómo se puede controlar.

Recortes

Manipulate[
 Grid[{
   {DiscretePlot3D[
     PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right],

    DiscretePlot3D[
     CDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right]}
   }]
 ,
 {{n, 5}, 1, 20, 1, Appearance -> "Labeled"},
 {{p, 0.4}, 0.1, 0.9},
 TrackedSymbols -> True
 ]

Lo principal aquí es PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}] que se explica por sí mismo, creo. Multinomial sólo significa que puede tomar muchas distribuciones con cada pi para la variable respectiva. La forma simple es BinomialDistribution . Por supuesto, podría hacerlo manualmente, pero la regla es que si tienes una función incorporada, debes usarla.

Si necesitas algún comentario sobre la estructura del código, por favor, házmelo saber.