¿¿El orden de un polo de la función zeta indica cualquier información geométrica?

Question

Aquí, estoy principalmente concerced zeta acerca de las funciones de hypersurfaces sobre los campos de finito de característica.

Suponga $F_q$ a ser un campo finito con q elementos. Considere la función zeta de la hipersuperficie definido por $-y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2=0$$\mathbb{P}^3$.
Si $-1$ es un cuadrado en $F_q$, los zeta de la función es

$$Z(u)=\frac{1}{(1-uq^2)(1-uq)^2(1-u)}.$$

Tiene un polo de orden $2$$1/q$. Si no, es

$$Z(u)=\frac{1}{(1-uq^2)(1-uq)(1+uq)(1-u)}.$$

Tiene un polo de orden $1$$1/q$.

¿Cómo órdenes de polos indicar cualquier información geométrica?

Answer 1

Para un buen proyectiva de la superficie, el orden de la pole en 1/q se cree para ser el rango de la Nerón-Severi grupo de la superficie. Esa es una conjetura, de la Tate y es un análogo de la Birch y Swinnerton-Dyer conjetura. Tate ha formulado más general de la conjetura para dimensiones superiores variedades también. Para el caso de quadrics, como en tu ejemplo, estas conjeturas son conocidos.

Edit: tal vez usted no quiere una fantasía de respuesta. En el primer caso, el quadric contiene las líneas y en el segundo, no.

Answer 2

Esta es una exposición de nota de relleno en el fondo entre Steven Sam comentario y Felipe Voloch la respuesta.

Si $X$ es un buen proyectiva variedad, a continuación, las conjeturas de Weil (ahora teoremas) describir los ceros y polos de la función zeta en términos de la cohomology de $X$, y la acción de Frobenius. En particular, los polos en el círculo de $|u|=1/q$ son los recíprocos de los valores propios de Frobenius actuando en $H^2(X, \mathbb{Q}_{\ell})$.

En tu ejemplo, $H^2$ es de dos dimensiones. Durante la clausura algebraica $\overline{F_q}$, su variedad es isomorfo a $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$. $H^2$ es atravesado por las dos clases de $\mathbb{P}^1 \times \{ \mbox{point} \}$$ \{ \mbox{point} \} \times \mathbb{P}^1$.

Si $-1$ es un cuadrado, Frobenius actúa en dos dimensiones de espacio vectorial por la multiplicación por $q$, con lo que consigue un doble polo a $1/q$. Si $-1$ no es un cuadrado, entonces Frobenius multiplica por $q$ y los interruptores de los dos generadores. Así que los valores propios son $q$$-q$.