En Bonn, hemos pasado a tener una discusión sobre el tema en el título:
Supongamos que a y B son las clases y que hay inyecciones de a a B y de B a A. ¿se sigue que no es un bijection entre a y B?
Ejemplo: Vamos a la clase de los conjuntos de cardinalidad uno y que B es la clase de los conjuntos de cardinalidad de los dos. Hay una inyección
A -> B, el envío de un a {a, emptyset},
B-> A enviar a b a {{b}}.
De lo anterior se sigue que hay un bijection entre a y B?
Desde que se ha planteado la cuestión de si la norma argumentos realmente funcionan con las clases, me permito publicar este respuesta dando algunas desea conocer más detalles acerca de uno comparativamente el modo concreto de hacerlo. Otros métodos también son posibles.
Voy a trabajar en la teoría de Goedel-Bernays GB de teoría de conjuntos (sin mundial elección), una configuración general para el tratamiento de la las clases, que forma un conservador extensión de ZF. Este la teoría incluye como un caso especial, el tratamiento tradicional de clases como definibles colecciones en ZF, ya que cada modelo de ZF, cuando se recurre con su definibles clases, constituye un modelo de GB. Por lo tanto, el GB contexto parece ser la más manera integral a la respuesta (y si prefiere ZF, entonces imagínate que todas las clases aquí son definibles a partir de los parámetros).
Supongamos que $A$ $B$ son clases y que tenemos clase funciones de $F:A\to B$$G:B\to A$, que es inyectiva, como en la pregunta. Deje $A_0=A-\operatorname{ran}(G)$, que es una clase, ya que es definible a partir de $A$$G$. Digamos que un secuencia $\langle x_0,x_1,x_2,\ldots\rangle$ es un de vuelta-y-vuelta-iteración de la secuencia si $x_0\in A$ y $x_{2n+1}=F(x_{2n})$ $x_{2n+2}=G(x_{2n+1})$ para todos los números naturales $n$. Deje $A_n$ ser los elementos $a_{2n}$ que aparecen en el incluso las coordenadas de un ida y vuelta de la iteración de la secuencia con $a_0\in A_0$. Esta noción es definible a partir de $F$$G$, y el punto es que tenemos una presentación uniforme de la $A_n$ en una sola clase $\{(n,a)\mid a\in A_n\}$. Deje $A^+=\bigcup_n A_n$, la cual es una clase definida de $F$ $G$.
Deje $H$ ser la función $F\upharpoonright A^+)\cup(G^{-1}\upharpoonright a-a^+)$. Me dicen que este es el deseado bijection entre el$A$$B$. En primer lugar, es claramente una clase que es definible a partir de $F$$G$. Segundo, es una función de$A$$B$. Tenga en cuenta que si $a\in A_n$, a continuación,$G(F(a))\in A_{n+1}\subset A^+$, y por lo $F(a)$ no es $G^{-1}(a')$ cualquier $a'\in A-A^+$. Por lo tanto, la función de $H$ es inyectiva. En segundo lugar, si $b\in B$$G(b)\in A_n$, luego debe ser que $n\geq 1$ $b=F(a')$ $'\en A_{n-1}\subconjunto de A^+$, putting $b\in\operatorname{ran}(H)$. De lo contrario, $G(b)\notin A^+$, y de nuevo $b\in\operatorname{ran}(H)$. Por lo $H$ es un bijection. QED
Algunas de las otras pruebas también pueden ser formalizado por clases, si uno simplemente utiliza las secuencias como lo hice aquí para la iteración.
Ignorando conjunto teórico aspectos técnicos de la formulación de la pregunta correctamente, no veo la razón de que la prueba usual de Schröder-Bernstein no iba a funcionar.
(Conjunto teórico de tecnicismos: En el lenguaje estándar de la teoría de conjuntos, no se puede cuantificar las clases, por lo que no puede el estado de este. Sin embargo, usted puede probar un metatheorem diciendo que cuando se presentan dos de estas inyecciones, usted puede probar también hay un bijection. Alternativamente, usted podría trabajar en la teoría de conjuntos con las clases, en la que la declaración puede ser hecha correctamente y usted debería ser capaz de demostrar que es justo como ordinario de Schröder-Bernstein. Por otra parte, es un simple corolario de la "global" axioma de elección (lo que implica, en particular, que todas adecuada clases tienen el mismo tamaño), aunque esta es la clase de la aplicación de una maza.)
Esta es una pregunta interesante. Creo que hay algunas cuestiones que los otros no mencionar todavía. Pero yo no soy un experto en todo, yo podría estar equivocado. Por favor, déjame un comentario!
En la siguiente, yo trabajo en la $ZF$. Por lo tanto, una clase es simplemente una fórmula. Hay algunas construcciones y relaciones de los conjuntos que directamente llevan a clases. Por ejemplo, $A=B$ significa que las fórmulas de $A,B$ son equivalentes.
Dibujemos una prueba para las clases. Deje $A,B$ clases, $f : A \to B$, $g : B \to A$ inyectiva mapas. Definir las clases de $A_n \subseteq A, B_n \subseteq B$ recursivamente por $A_0=A, B_0 = B, A_{n+1} = g[B_n], B_{n+1}=f[A_n]$. A continuación,$h : A \to B$, definido por $f$ $\cap_n A_n \cup (\cup_n A_{2n} \setminus A_{2n+1})$ y $g^{-1}$, en el resto, está bien definido y un bijection.
Los sindicatos, los recortes, las imágenes de las funciones etc. no son el problema. Pero, ¿qué acerca de la recursividad? Lo que realmente necesitamos aquí es un esquema de recursión para las clases. En realidad no es un teorema que se podría llamar la recursión transfinita régimen de clases:
Deje $R$ ser fundada y establecida-como la relación de la clase $A$ $F : A \times V \to V$ una función. Entonces existe una función de $G : A \to V$, de tal manera que para todos los $x \in A$
$G(x)=F(x,G|_{\{y \in A : y R x\}})$.
Sin embargo, tenga en cuenta que las imágenes de $G$ son conjuntos, no adecuado de las clases. No podemos usar ese teorema aquí.
Creo que tenemos un meta-teorema que indica que el anterior también tiene al $V$ es reemplazado por el conjunto de fórmulas y $R=\mathbb{N}$. Además, el meta-mundo debería ser capaz de hablar acerca de las funciones. Pero esto no es plausible, ya que la fórmula resultante no tiene que ser finito, ¿verdad?
Por ejemplo, tratar de definir una fórmula $G(n)$ recursivamente por $G(0)=\phi_0$ (no importa lo $\phi_n$)$G(n)=G(n-1) \wedge \phi_n$. ¿Por qué existe una fórmula $\psi(n,x)$ tal que $\psi(n,x) \Leftrightarrow \wedge_{i=0}^{n} \phi_i$? Creo que necesitamos un lugar poderoso lógico matemático para que.
También tenga en cuenta que, Francois " gran respuesta aquí (demostrando Schröder-Bernstein sin la existencia del conjunto $\omega$) también causa problemas cuando se desea escribir la fórmula para la parte "...$\exists s : \{0,...,n\} \to A$ ...". Tal vez realmente no hay bijection entre las dos clases mencionadas anteriormente (clase de todos los embarazos únicos, y la clase de todos los 2-elemento de conjuntos)?
Para hacer esta pregunta, primero tiene que tener claro lo que entendemos por una "clase". ¿Te refieres a un número finito de fórmula en el lenguaje de ZFC con una variable libre, P(x)? (Escribir P(x) aproximadamente significa "x tiene la propiedad P".)
Segundo, ¿qué quiere decir que un mapa de una clase P clase P? ¿Te refieres a una clase de pares ordenados?
Si "sí" a las dos de la anterior, entonces creo que la respuesta a tu pregunta es "sí", porque el Schröder-Bernstein argumento le permitirá explícitamente escribir una fórmula F(x,y) a partir de las fórmulas (P ) y (Q ) que es "un bijection" en el sentido de que para todo x tal que P(x) no existe un único y tal que P(y) y F(x,y).
Si, sin embargo, la media de la clase en algún otro sentido, como el indefinido noción de "clase" que se utiliza en la teoría de conjuntos NBG, o algo más vago, una respuesta diferente será necesario.
Recomiendo la lectura del artículo de wikipedia sobre Zermelo-Frenkel la Teoría de conjuntos y la navegación relacionadas con los artículos hasta que se sienta cómodo los significados precisos de la terminología básica :)
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