Si $H$ es un subgrupo de $G$ y $x,y\in G$, ¿qué es $xHy$ llama?

Question

Para un grupo $G$, su subgrupo $H$y $x,y\in G,$ llamamos $xH$ a la izquierda coset de $H,$ y llamada $Hy$ un coset derecho de $H.$ ¿existe un nombre especial para conjuntos de la forma $xHy$? Hay un nombre o una notación para la familia de juegos $\{xHy\,|\,x,y\in G\}?$

Answer 1

Alexander y Serkan señalar que los elementos individuales son sólo tipos especiales de cosets: $xHy = (xy) H^y = H^{x^{-1}} (xy)$. Este es un subconjunto especial de $G$ que es a la vez una a la izquierda y a la derecha coset (posiblemente diferentes, pero conjugado de los subgrupos).

No creo que tiene un nombre especial.

Una idea diferente que se adapta mejor a la colección completa $\{ xHy : x,y \in G \}$ es que el $G \times G$ actúa en $\{ xHy : x,y \in G \}$ través $(xHy)^{(r,s)} = r^{-1} x H ys$. La acción es claramente transitiva, y el estabilizador de la $H$$H \times H$. Por lo tanto yo la describiría como el espacio de cosets $(G\times G)/(H \times H)$. La correspondencia entre la definición habitual es $(H \times H)(x^{-1},y) \mapsto xHy$. Esto está bien definido, porque si $h,k \in H$$(H \times H)(hx^{-1}, ky) \mapsto x h^{-1} H ky = xHy$.