Sobre la existencia de morfismos de campo

Question

¿Que $K$ y $L$ dos campos, la existencia de dos campo morfismos $f\colon K\rightarrow L,\ g\colon L\rightarrow K$ implica que, como campos abstractos, $K\cong L$ (no necesariamente a través de $f$ o $g$)?

Answer 1

Creo que he encontrado un contraejemplo:

Que $F:=\overline{\Bbb Q(x_1,x_2,\dots)}$, es decir, la clausura algebraica de la extensión de $\Bbb Q$ por infinitamente muchos elementos trascendentes independiente.

Que $K:=F(x_0)$ una simple extensión trascendente. Este campo es no algebraicamente cerrada.

Por último, que $L:=\overline K$, su clausura algebraica.

Si no me equivoco, $L=\overline{F(x_0)}=\overline{\Bbb Q(x_0,x_1,x_2,\dots)}\cong F$.

Así ganamos campo morfismos $K\to L$ y $L\cong F\to K$, aunque $L\not\cong K$.