¿Es $\tan\theta\cos\theta=\sin\theta$ una identidad?

Question

Un amigo mío, que es un maestro de la escuela secundaria, me llamó hoy y pidió a la pregunta anterior en el título. En abstracto, configuración, esto se reduce a preguntar si una expresión como "$f=g$" es considerado como una "identidad" cuando uno de sus dominios es un subconjunto de la otra, y las dos funciones coinciden en que el más pequeño de dominio. Ejemplos de estas igualdades son abundantes en la escuela secundaria ejercicios de matemáticas, por ejemplo, $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1,\ e^{\log x}=x$ etc.. a Menudo, los dominios no están especificados en los ejercicios.

Algo parecido, pero sutilmente caso diferente es cuando ambas funciones están definidos sobre el mismo dominio, pero si son iguales, depende del dominio exacto. Por ejemplo, $e^{x+y}\equiv e^xe^y$ reales, complejos o de números, pero no para los cuaterniones. Sin embargo, para el propósito de la discusión, vamos a centrarnos en el caso anteriormente mencionado de $f$$g$. Finalidades pedagógicas:

• ¿Consideras $f=g$ una "identidad"? ¿Qué hace una identidad significa?
• Cómo convencer a la escuela secundaria a los estudiantes que su definición es buena?

Answer 1

Para ser precisos, una declaración de $f(x)=g(x)$ debe estar siempre acompañado por la especificación de la gama de todas las variables libres implicados (en este caso, presumiblemente $x$ y sólo el $x$ es gratis), por ejemplo, "para todos los verdaderos $x$" o - en el ejemplo - "para todos los $\theta\in\mathbb R\setminus(2\mathbb Z+1)\frac\pi2$". Por otro lado, si uno trabaja con funciones, a continuación, $f=g$ automáticamente significa: $f(x)=g(x)$ todos los $x$. Incluso si uno no se preocupa por las diferencias en insignificante conjuntos (por ejemplo, conjuntos de medida de Lebesgue $0$), uno debe escribir "$f(x)=g(x)\text{ a.e.}$" para hablar de esto; uno puede , sin ambigüedades, el uso de igualdad estricta si uno trabaja con apropiado de clases de equivalencia de funciones. Es a menudo entendido que un implícito "en casi todo" o "siempre que ambos lados están definidos" o similares debe ser añadido. Del mismo modo, cuando la introducción de la suma de los límites, uno tiende a memorizar sólo $$ \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n,$$ pero la declaración completa que realmente implica "es decir, que si los dos límites en el derecho de existir, entonces también lo hace el límite por la izquierda y su valor es la suma de los dos únicos límites" o "si dos de los límites existen, a continuación, también lo hace la tercera y la igualdad sostiene".

Para repetir: ser cuidadoso, restricciones de dominio debe ser siempre de forma explícita.

Sobre todo, un ejercicio que sin duda debe ser escrito con mucho cuidado de que el dominio y las excepciones que se mencionan explícitamente. E. g. ningún ejercicio debe preguntar "Muestran que $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$", pero "Muestran que $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$$x\ne1$". Sin embargo, usted puede encontrar "Sugerencia: Use $e^{\ln x}=x$" sin especificación de dominio (o en el análisis complejo: rama) si la sugerencia es que se debe aplicar para una situación adecuada (en el que caso de que su respuesta debe incluir "... porque $x>0$" o similares).

Answer 2

Por lo general he visto el término "identidad" se utiliza para referirse a una ecuación que es verdadera cuando ambos lados se definen. Esto incluiría $\sin x=\tan x\cos x,$ duda, pero también incluiría $x=2x-x.$ dicho de otro modo, podemos decir que $f=g$ es una identidad iff $f$ y $g$ son idénticas donde están ambos definidos.

Answer 3

Es habitual que en las matemáticas que, cuando es claro por el contexto que los números que considerar son reales (o complejos), entonces el rango exacto por el que la identidad tiene que queda implícito. No hay ninguna diferencia entre una identidad y una ecuación. La afirmación de que $f(x)=g(x)$ es, en el contexto en el que está claro que estamos hablando de reales (o complejos), los números, la afirmación de que para todos los $x\in \mathbb R$ (o $x\in \mathbb C$) para que tanto $f(x)$ $g(x)$ se definen, son iguales. Habiendo dicho eso, se considera una buena práctica (especialmente cuando se trata de los estudiantes), como en el caso que usted menciona en la pregunta, diga algo como: para todos los $x\in \mathbb R$ tal que $\tan(x)$ está definido.

Cómo convencer a los estudiantes de la escuela secundaria, simplemente estoy de acuerdo con ellos sobre lo que significa el estado de una identidad. Es una cuestión de convención más que cualquier otra cosa, así que una vez que usted está de acuerdo en la convención puede comprobar los detalles. En cualquier caso, esta es una muy discutible punto a discutir como se considera generalmente nit-picking y sin importancia.

Answer 4

Tu pregunta es algo sutil. De acuerdo a la matemática contemporánea, dos funciones son idénticas cuando (1) que comparten el mismo dominio y el mismo co-dominio; (2) actuar conforme a la misma regla. Por lo tanto $\sin\theta=(\tan\theta) \cdot (\cos\theta)$ es malo, a menos que usted decida que $\sin$ es en realidad la restricción de la habitual función seno para el dominio de la mano derecha.

Para algunos maestros de este enfoque es demasiado rígido, y prefieren aceptar Cameron Buie la respuesta.

Edit: he aprobado la modificación sugerida, pero escribí $\sin = \tan \cdot \cos$ a propósito. En realidad, a mí me parece que "identidades trigonométricas" no son verdaderas identidades entre las funciones, sino que las identidades up para restringir su validez adecuado de los conjuntos. Pero esto se puede hacer en un nivel muy elemental: definirías $\frac{x}{x}=1$ identidad? Yo probablemente no, ya que $\frac{x}{x}$ ya está definida en $x=0$ mientras $1$ es siempre definida. Alguien tiende a decir que esta es una identidad, porque es una identidad en el juego más grande en la que los dos lados son computables.