¿Por qué estas fracciones ¿da $99...9$?

Question

Hoy en día, como de costumbre, estábamos haciendo todas esas aburridas cálculos numéricos en nuestras calculadoras. Todo comenzó cuando mi profesor sustituido $0.2$$1/5$. Me metí en el cálculo de las fracciones de unidades, uno por uno. Pero pronto, tengo entregó en las fracciones de unidades hechas a partir de los números primos, como los demás números se pueden descomponer en factores primos (y en parte porque siempre he pensado que los números primos son especiales). Entonces, he observado un par de cosas.

• Todos los de la unidad de primer fracciones (excepto $1/2$ & $1/5$) han recurrente dígitos.
• Pero, hubo un par de fracciones especiales. Por ejemplo, $1/7$ tenía un dígito de frecuencia de 6 (he.e) $0.\overline{142857}$ - 6 recurrente dígitos. $1/17$ tenían una frecuencia de 16, $1/19$ tenían una frecuencia de 18 años, etc.

Sólo después de una hora o así, me sorprendí al notar algo. "La mayoría" de estos números primos tenían una propiedad similar. Si $\mathcal{R}(n)$ es el número de recurrentes dígitos, a continuación, $\mathcal{R}(n)=(n-1)$ para los números primos (Bueno, no trabajo para $13$, pero el último resultado es true).

Entonces, vino el patrón. Primero de todo, $\mathcal{R}(n)$ es incluso estos números primos, ya que todos los números primos son impares. Mientras que el cálculo de $1/13$, vi que cuando nos separamos el recurrente dígitos $0.0\overline{769230}$ en la mitad y agregar ($769+230$), obtenemos $999=10^3-1$.

Entonces, yo hice lo mismo por $1/17$$1/19$, por lo que llegué a $(10^8-1)$$(10^9-1)$. Para cada fracción de este tipo, la suma es de la forma $10^k-1$ donde $k\ \in \mathbb N$.

De pronto, me encontré con que había una condición para que esta forma de aparecer (después de escribir unos pocos de estos números primos 7, 13, 17, 19, 23, 29, etc.). Esto ocurre sólo cuando

$$\mathcal{R}(n_i)\geq\mathcal{R}(n_{i-1})\ \forall\ \ n \in \mathbb P$$

Por ejemplo, esto no sucede para $1/11$, pero ésta se produjo por $1/7$$1/13$, ya que el $$\mathcal{R}(11)=2\ <\ \mathcal{R}(7)=8=\mathcal{R}(13)$$

Tengo curiosidad acerca de este resultado. Estamos segmentando los recurrentes dígitos en la mitad, a la derecha? No puedo visualizar la forma en que la generalización de estas rodajas dígitos convergen en el mismo formulario.

¿Por qué es esto así? Esto es cierto para todos estos especiales de los números primos? O, ¿acaso esto tiene un límite más allá del cual esta condición se rompe?

Answer 1

Por lo tanto, aquí es lo que está pasando aquí.

Primero de todo, tomemos $1/13$, por ejemplo. Escrito $1/13 = 0.\overline{076923}$ es lo mismo que decir $\frac{1}{13} = \frac{76923}{999999} = \frac{76923}{10^{6} - 1}$. Así vemos que, $1/13$ tener un período de 6 dígitos corresponde al hecho de que podemos escribir $\frac{1}{13} = \frac{a}{10^6 - 1}$ para algunos entero $a$. Podemos ver $a = \frac{10^6 - 1}{13}$. Así que la primera observación es la siguiente:

HECHO: El número de repetición de dígitos en $1/n$ es el entero más pequeño $k$ tal que $n$ es un factor de $10^k - 1$. (Al $n$ no tiene factores de $2$ o $5$).

No sé si has visto la aritmética modular antes, pero diciendo que $n$ es un factor de $10^k - 1$ es lo mismo que decir $10^k \equiv 1$ (mod n). El más pequeño de tales entero $k$ es llamado el orden de 10 (mod $n$). No es tan duro para demostrar que, si $n$ es el primer (vamos a llamarlo $p$), el orden de cualquier elemento debe dividir $p - 1$. Por ejemplo, cuando se $p = 13$, el número de repetición de dígitos en $1/13$ debe ser un divisor de a $12$ (y esto es cierto en cualquier base $b$, mientras $b$ no tiene factores de $13$). En base habitual de diez, el número de repetición de dígitos es $6$, como se ha descubierto.

Bien, ahora vamos a hablar sobre el 9999.. parte.

Supongamos $p$ es un número primo tal que $1/p$ tiene una repetición de expansión decimal cuya longitud $k$ es incluso (por ejemplo, si $k = p - 1$). Así que tenemos $p$ divide $10^k - 1$ o $10^k \equiv 1$ (mod p). Esto implica que $10^{k/2} \equiv -1$ (mod p). Por qué? Bien supongamos $10^{k/2} \equiv x$ (mod p). Luego de ello se sigue que $x^2 \equiv (10^{k/2})^2 \equiv 10^k \equiv 1$ (mod p). Pero la ecuación de $x^2 \equiv 1$ sólo tiene dos soluciones mod $p$: $x = \pm 1$. $x = 1$ no es posible aquí, ya que nos dijo que $k$ fue el entero más pequeño para que $10^k \equiv 1$ (mod p).

[Tenga en cuenta que esto no es cierto si $p$ no es primo. Por ejemplo, $10^6 \equiv 1$ (mod 21), sino $10^3 \equiv 13$ (mod 21). Uno puede comprobar que $13$ es una solución a $x^2 \equiv 1$ (mod 21), y $13$ ni $1$ ni $-1$. Pero esto no puede ocurrir cuando $p$ es primo.]

Bien. Así hemos llegado a la conclusión de que $10^{k/2} \equiv -1$ (mod p), es decir, $p$ divide $10^{k/2} + 1$. Por lo tanto podemos escribir:

$$\frac{1}{p} = \frac{a}{10^{k/2} + 1}$$

Para algunos entero $k$. Multiplicando el numerador y el denominador de la RHS por $10^{k/2} - 1$, obtenemos:

$$\frac{1}{p} = \frac{a(10^{k/2} - 1)}{10^k - 1} = \frac{10^{k/2}(a - 1) + (10^{k/2} - a)}{10^k - 1}$$

Esto resuelve el problema! Por qué? Bien, $10^{k/2} - a$ es un número con $k/2$ dígitos. Del mismo modo, $a - 1$ es un número con $k/2$ dígitos. El numerador de esta fracción será$a - 1$, seguido por $10^{k/2} - a$, ya que el $a - 1$ se multiplica por $10^{k/2}$, por lo que cambió $k/2$ dígitos. Por lo tanto la suma de la "primera mitad" y la "segunda mitad" es $(a - 1) + (10^{k/2} - a) = 10^{k/2} - 1$, que es una secuencia de $9$s.

Voy a finalizar con la realización de $1/13$ como un ejemplo. Aquí $k = 6$, y por lo $k/2 = 3$. A continuación, $10^{k/2} = 1000 \equiv -1$ (mod 13). De hecho, 1001 es un múltiplo de 13. Así que podemos escribir:

$$\frac{1}{13} = \frac{77}{1001}$$

Aquí, $77$ es nuestro 'un'. Así, obtenemos:

$$\frac{1}{13} = \frac{77 \cdot 999}{999999} = \frac{10^3(76) + (1000 - 77)}{999999} = \frac{10^3(76) + (923)}{999999}$$

Esto corresponde al hecho de que los 3 primeros dígitos se $a - 1 = 76$ (076) y los últimos 3 dígitos se $10^{k/2} - a = 1000 - 77 = 923$.

Answer 2

Algo que puede volar tu mente. No sólo es $142+857=999$, pero $14+28+57=99$. Del mismo modo, para $1/13=0.\overline{076923}$. Ha $076+923=999$$07+69+23=99$.

El número de repetición de dígitos para $\frac{1}{n}$ en general, cuando se $n$ es relativamente primer a $10$, es el menor entero positivo $q$ tal que $n$ es un divisor de a $10^q-1$. Así, por ejemplo, $3\mid 10^1-1$, por lo que la frecuencia de $1/3$$1$. Para $7$, $10^6-1$ es divisible por $7$. Al $n$ es primo, podemos mostrar que $q\mid n-1$.

Tenga en cuenta que$10^q-1=999\dots9$, $q$ dígitos $9$.

Desde $37\mid 999$, obtenemos $1/37$ frecuencia $3$, que es bastante extremas. Entonces usted no recibe su '999' fórmula, debido a que $1/37 = 0.\overline{027}$ no puede ser rota en dos mitades de dígitos.

Del mismo modo, $\frac{1}{31}=0.\overline{032258064516129}$ frecuencia $15$. Tenga en cuenta que $$03226+80645+16129=99999$$

Pero cuando $q$ es incluso, decir $q=2k$,$n\mid 10^{2k}-1=(10^k-1)(10^k+1)$. Al $n$ es primo, ya que $q$ es el valor más pequeño, sabemos que $n$ no es un divisor de a $10^k-1$, lo $n$ debe ser un divisor de a $10^k+1$. (Es por eso que no vemos esto necesariamente al $n$ no es primo.)

Ahora, si $$\frac{1}{n}=\frac{A}{10^k}+\frac{B}{10^{2k}}+\frac{A}{10^{3k}}\dots$$ with $0\leq a,B<10^k$, we can multiply by $10^k+1$ y el resultado debe ser un número entero. Así:

$$\begin{align}\frac{10^k+1}{n} &= A+\frac{A+B}{10^k}+\frac{A+B}{10^{2k}}+\frac{A+B}{10^{3k}}\dots\\&=A+ \frac{10^k(A+B)}{10^k-1} \end{align}$$ Esto significa que $A+B$ debe ser divisible por $10^k-1$. Desde $0\leq A,B\leq 10^k-1$, la única manera para que esto sea un número entero es si $A+B=10^k-1=99\dots9$.

En los casos en que $q$ es divisible por $3$$1/31$$1/37$, vimos que hay algo más. En aquellos casos en los, $q=3k$, $10^{3k}-1=(10^k-1)(10^{2k}+10^k+1)$, y por el mismo razonamiento anterior, $n$ debe dividir $10^{2k}+10^k+1$, lo que significa que, cuando se multiplica $\frac{1}{n}$$10^{2k}+10^k+1$, usted debe obtener un número entero, la suma de los tres componentes, por las razones arriba mencionadas, será un múltiplo de $10^k-1$. (Es posible que la suma de los ser $2(10^k-1)$? No he descartado esa...)

Esto se puede escribir de manera más general. Si $n$ es primo y no un factor de $b(b-1)$, $\frac{1}{n}$ base $b$ es de repetición, y la suma de los (base $b$) dígitos será un múltiplo de $b-1$. Cuando la fracción es la repetición de $2$ dígitos, entonces la suma de los dígitos siempre va a ser $b-1$. A continuación, por encima, al $q=2k$ base $10$, este resultado significa que el $\frac{1}{n}=0.ABAB\dots$ base $b=10^k$, y podemos demostrar que la suma debe ser exactamente $10^k-1$.

Al $n=71$, tenemos:

$$\frac{1}{71}=0.\overline{01408450704225352112676056338028169}$$

La secuencia tiene una longitud de $35$, y cuando nos rompen en conjunto de $7$ dígitos, obtenemos:

$$01408+45070+42253+52112+67605+63380+28169=299997=3\cdot99999$$

y en grupos de siete dígitos: $$0140845+0704225+3521126+7605633+8028169=19999998= 2\cdot 9999999$$

Finalmente, rompiendo $1/7$ en grupos de a$5$$7$, e $11$, obtenemos:

$$\begin{align}299997=&14285+71428+57142+85714+28571+42857\\ 29999997=&1428571+4285714+2857142+8571428+5714285+7142857\\ 299999999997=&14285714285+71428571428+57142857142+\\&85714285714+28571428571+42857142857 \end{align}$$

Esto no es sólo cierto para $n$ prime. Si $n\mid 1+b+b^2+\dots b^{d-1}$ luego de la primera $d$ dígitos de la base de $b$ agregar a un múltiplo de $b-1$. (La frecuencia de la repetición en $\frac{1}{n}$ será un factor de $d$.)

Por ejemplo, cuando se $n=7\cdot 13=91$, e $91\mid 1+10^3$$91\mid 1+10^2+10^4$. Así:

$$\frac{1}{91}=0.\overline{010989}\\01+09+89=99\\ 010+989=999$$

Answer 3

Una fracción en su mínima expresión, con un primer denominador distinto de 2 o 5 (es decir, coprime a 10) siempre produce la repetición de una decimal.

La duración del período de la repetición decimal de $1/p$ es igual a la orden de $10\mod p$. Si 10 es una raíz primitiva módulo $p$, el período de la repetición decimal longitud es igual a $p − 1$; si no, el período de la repetición decimal de longitud es un factor de $p − 1$. Este resultado se puede deducir de Fermat poco teorema, el cual establece que $10^{p−1} = 1 (\mod p)$.

Para $13$: $$10^1\equiv 10\pmod{13}\\10^2\equiv9\pmod{13}\\10^3\equiv12\pmod{13}\\10^4\equiv3\pmod{13}\\10^5\equiv4\pmod{13}\\10^6\equiv1\pmod{13}\\10^7\equiv10\pmod{13}$$ Aquí vemos que el periodo de $10^k$ modulo $13$$6$. Los restos en el período, que se $10,9,12,3,4,1$ no forman un reordenamiento de todas distinto de cero residuos modulo $13$, lo que implica que 10 no es una raíz primitiva módulo 13.

$1/13$ contiene $6$ repetición de dígitos, que de hecho es un factor de $12(=13-1)$

Si el período de la repetición decimal longitud de $1/p$ primer $p$ es igual a$p − 1$, el período de la repetición de decimales, expresado como un número entero, se llama a un número cíclico.Los ejemplos incluyen la $7,17,19,23,29,97,\cdots$

Si $p$ es un primer e $10$ es una raíz primitiva módulo $p$, entonces la longitud de la $\mathcal{R}$ del período de la repetición decimal de $1/p$$\phi(p)$, totient de la función.

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Vamos a suponer que tome $1/p$ que es su "especial número primo".Ahora forma decimal debe ser de $$1/p=0.\overline{a_{1}a_{2}\cdots a_{\frac{p-1}2}a_{\frac{p-1}2+1}\cdots a_{p-1}}$$ Ahora $$10^{\frac{p-1}2}/p+1/p=\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{\frac{p-1}2}\right).\left(\overline{a_{\frac{p-1}2+1}\cdots a_{p-1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\frac{p-1}2}}\right)+0.\left(\overline{a_{1}a_{2}\cdots a_{\frac{p-1}2}a_{\frac{p-1}2+1}\cdots a_{p-1}}\right)$$ Podemos ver que en el lado izquierdo se convierte en $\frac{10^{\frac{p-1}2}+1}p$ el cual debe ser un número entero, de modo que el resultado de $999\cdots9$ automáticamente se convierte en realidad, ya que la parte decimal de este número es en realidad la suma de la mitad de las piezas.