Ok, puede, después de algunos cálculos que ver
el valor absoluto de la suma es menor o igual a
$$\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi(-tn^2 + 2n|z|)}$$
donde $t = im(\tau) >0.$
La parte de la suma donde $n<0$ menos de lo que algunos finito constante
dependiendo únicamente de la $\tau,$ así que sólo tiene que preocuparse de $n>0.$
(Esto usted necesita para probar.)
Ok, entonces, dividir esa suma en dos partes:
Deje $N$ ser el menor entero mayor que $4|z|/t$
(donde $t = im(\tau) >0.$)
Si $n\geq N$ tenemos $nt/4 > |z|.$
Esto implica que el $-tn^2 + 2n|z| \leq -n^2t/2.$
El uso de este en la segunda suma, $N...\infty$ y el uso de algunas otras estimaciones en la primera parte.
Edit: Continuación:
En primer lugar, usted debe ver que
$$\sum_{n=-\infty}^0 e^{\pi (tn^2 + 2n|z|)} \leq
\sum_{n=-\infty}^0 e^{-\pi t n^2}
$$
y esto claramente converge a algo que solo depende de $\tau.$
(El exponente desviará a $-\infty$ rápidamente, de modo que la suma debe converger.)
Ahora, si $n\geq N$
$$\sum_{n=N}^\infty e^{\pi(-tn^2 + 2n|z|)}\leq \sum_{n=N}^\infty e^{\pi(-n^2 t/2)} $$
que converge a un número finito independiente de $z$.
Ahora, usted sólo tiene que hacer algo acerca de la última parte:
$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{\pi(-tn^2 + 2n|z|)}$$
(Sugerencia: use$N-1< 4|z|/t$, lo que sigue a partir de las condiciones anteriores).
Edit: Continuación:
Ok, elija $r \in \mathbb{R}$, de modo que $\theta(r,\tau) \neq 0.$
Por cuasi-periodicidad, tenemos que para enteros $m$ que
$$\theta(r+m\tau,\tau) = e^{-i\pi m^2\tau - 2im \pi r}\theta(r,\tau)$$
así que tomando valores absolutos en cada lado, vemos que
$$|\theta(r+m\tau,\tau)| = e^{t\pi m^2}|\theta(r,\tau)|$$
donde $t = im(\tau)>0.$
Por lo tanto,
$$\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{|\theta(r+m\tau,\tau)|}{e^{t\pi m^2}}
= |\theta(r,\tau)| > 0.$$
Por lo tanto, el orden es al menos 2.
