Que $H$ tienen orden $m$ y $K$ % de orden $n$, donde $m$ y $n$ son relativamente privilegiadas. Entonces $H \cap K=\{e\}$

Question

Deje $H$ $K$ ser subgrupos de $G$. Deje $H$ tienen orden de $m$ $K$ tienen orden de $n$ donde $m$ $n$ relativamente primos. A continuación, $H \cap K=\{e\}$

Mi prueba:

Deje $H$ $K$ ser subgrupos donde el $ord(H)=m$ $ord(K)=n$ $m,n$ son relativamente primos. Sabemos que $H \cap K$ es un subgrupo de $H$$K$, ya que contiene los elementos de ambas en $H$$K$. Dejemos el ord($H \cap K$)=d.

Entonces, del teorema de Lagrange, el orden de $H$ es un múltiplo de la orden de $H \cap K$. En otras palabras, $m$ es un múltiplo de a $d$ o $d|m$. De modo similar, al del teorema de Lagrange, el orden de $K$ es un múltiplo de la orden de $H \cap K$. En otras palabras, $n$ es un múltiplo de a $d$ o $d|n$. Desde $d$ divide tanto a a $m$ $n$ y sabemos $m$ $n$ son primos relativos, entonces, el orden de $H \cap K$ debe $1$.

Desde $H \cap K$ es un subgrupo, entonces por las propiedades de los subgrupos, contiene una inversa que significa que también debe contener una identidad y desde $H \cap K$ contiene un elemento, debe contener la identidad. Como resultado, $H \cap K=\{e\}$

Esperemos que alguien puede confirmar o corregir cualquiera de los errores que cometí. Gracias!

Answer 1

Tenemos que $H \cap K \leqslant H \Rightarrow |H \cap K| \mid |H|$ (Lagrange) y semejantemente $H \cap K \leqslant K \Rightarrow |H \cap K| \mid |K|.$ahí $|H \cap K|$ es un divisor común de $|H|$ y $|K|.$ desde $\gcd (|H|,|K|) = 1\Rightarrow |H \cap K | = 1 \Rightarrow H \cap K = \{1\}. \text {} \Box$