Límites de las expectativas

Question

Llevo un tiempo luchando con este problema de los deberes y no consigo ver la luz. El problema es el siguiente,

Supongamos que la variable aleatoria $X \ge 0$ pero NO asuma que $\mathbb{E}\left[\frac1{X}\right] < \infty$ . Demostrar que $$\lim_{y \to 0^+}\left(y \, \mathbb{E}\left[\frac{1}{X} ; X > y\right]\right) = 0$$

Después de pensarlo un poco, he descubierto que puedo atar

$$ \mathbb{E}[1/X;X>y] = \int_y^{\infty}\frac1{x}\mathrm dP(x) \le \int_y^{\infty}\frac1{y}\mathrm dP(x) $$

desde $\frac1{y} = \sup\limits_{x \in (y, \infty)} \frac1{x}$ lo que resulta en

$$ \lim_{y \to 0^+} y \mathbb{E}[1/X; X>y] \le \lim_{y \to 0^+} y \int_y^{\infty}\frac1{y}\mathrm dP(x) = P[X>0]\le1 $$

Por supuesto, $1 \not= 0$ . No estoy muy seguro de cómo proceder...

EDITAR: $\mathbb{E}[1/X;X>y]$ se define como $\int_y^{\infty} \frac{1}{x}\mathrm dP(x)$ . Esta es la notación utilizada en la obra de Durret Probabilidad: Teoría y ejemplos . NO es una expectativa condicional, sino un especificador de sobre qué conjunto se está integrando.

EDITAR: Cambiado $\lim_{y \rightarrow 0^-}$ a $\lim_{y \rightarrow 0^+}$ ; se trata de un error tipográfico.

Answer 1

Sugerencia(s) Por cada positivo $y$ , dejemos que $Z_y=(y/X)\mathbf{1}(y/X<1)$ . Quiere demostrar que $E(Z_y)\to0$ cuando $y\to0^+$ .

Sucede que $0\le Z_y<1$ con total probabilidad, para cada $y$ y que $Z_y\to0$ cuando $y\to0^+$ con total probabilidad. (Por supuesto, debería comprobarlo).

Ahora, tu objetivo es encontrar una condición sobre una familia dada de variables aleatorias no negativas $(T_y)$ que garantiza que $$\lim\limits_{y\to0^+}E(T_y)=E\left(\lim\limits_{y\to0^+}T_y\right)$$ y para comprobar que su familia $(Z_y)$ cumple esta condición. No deberían existir tantas condiciones de este tipo en su libro de texto...

Answer 2

Sugerencia: Para cualquier $k > 1$ , $\int_y^\infty \frac{y}{x} \ dP(x) \le \int_y^{ky}\ dP(x) + \int_{ky}^\infty \frac{1}{k} \ dP(x) \le \ldots$