Cómo obtener la intuición en la topología relativa a las definiciones?

Question

La mayoría de la topología de textos ir directamente a dar la definición de la topología, a continuación se dan algunos ejemplos y que es, como se sabe directamente a la derecha

Deje que $$ X un conjunto y dejar $τ$ ser una familia de subconjuntos de $X$. Entonces $τ$ se llama una topología en $X$ si:

1. Tanto el conjunto vacío y $X$, son elementos de $τ$
2. Cualquier unión de elementos de $τ$ es un elemento de $τ$
3. De la intersección de un número finito de elementos de $τ$ es un elemento de $τ$

Pero, ¿por qué definimos de esta manera? ¿Qué es la intuición?

¿Alguien sabe de un buen texto sobre la topología que da la intution detrás de los conceptos, ...etc ?

Answer 1

He aquí algunas sugerencias para obtener la intuición de la topología:

1. Aprender un montón de ejemplos temprano, y utilizarlos para guiar a su comprensión. Tomar la definición de una topología, por ejemplo. La motivación original para esta definición proviene de familiares espacios topológicos, tales como los números reales o, más generalmente, $\mathbb R^n$ o, más generalmente aún, métrica espacios. Aprender la definición de continuo mapas de $\mathbb R^m\to \mathbb R^n$ y entre espacios métricos en general y, a continuación, tratar de entender por qué el " libre juego de la definición de un mapa continuo es equivalente a estas definiciones. En este punto, es natural preguntarse qué tan lejos podemos generalizar esta definición. La topología es realmente acerca de la sustitución de '$\epsilon$-bolas' en la métrica de los espacios con más general básica abierta barrios que tienen precisamente el derecho propiedades que nos permiten dar sentido a conceptos como 'mapa continuo" o "pequeño barrio' a la que estamos acostumbrados de análisis real.

2. Aprender a dibujar imágenes de espacios topológicos. Un experimentado topologist naturalmente dibujar el diagrama de

   

   para un conjunto abierto $U$ contenida en un espacio topológico $X$ o

   

   para el espacio del producto $X\times Y$, incluso si los espacios, en realidad no se parecen en todo. Dibujo de un diagrama le ayudará a obtener la intuición para la escritura real de las pruebas.

3. Reconozco que a veces vas a tener que hacer un montón de topología. La definición de un compacto espacio topológico es muy difícil para los recién llegados al sujeto a interiorizar. Mirando hacia atrás en mi propio desarrollo matemático, no creo que haya nada que cualquiera podría haber dicho a mí en el momento en el que me han ayudado a entender mejor. Después de un par de años de uso de esta definición, y el trabajo con espacios compactos - sobre todo en el intervalo cerrado $[0,1]$, tengo una mucho mejor comprensión de su importancia. De hecho, mi consejo para cualquiera que quiera entender la compacidad es aprender una prueba de Heine-Borel teorema (es decir, $[0,1]$ es compacto) y, a continuación, volver y escribir nuevas demostraciones de los siguientes teoremas de análisis real utilizando sólo el hecho de que $[0,1]$ es un topológicos compactos espacio:

   • la de Bolzano-Weierstrass teorema de
   • cada función continua en $[0,1]\to\mathbb R$ es limitada
   • el número de Lebesgue lema
   • el cerrado gráfico teorema: una función $f\colon[0,1]\to\mathbb R$ es continua si y sólo si su gráfica $$\Gamma_f=\{(x,f(x))\colon x\in\mathbb R\}\subconjunto[0,1]\times\mathbb R$$ es un conjunto cerrado.

4. Sigo pidiendo (a sí mismo) preguntas. Estás haciendo exactamente lo correcto por el cuestionamiento de las definiciones que estamos viendo. Si usted aceptar ciegamente la definición todos los que te enseñan, sin cuestionar si es natural o "correcto", a continuación, usted encontrará que usted llegue al final de un curso de topología sin entender realmente lo que has sido enseñado. Cada vez que vea una definición, preguntarse '¿por Qué ha sido definido de esta manera?' Al mismo tiempo...

5. Entender que no hay prisa. Si no inmediatamente recibe por ello una definición que se utiliza, no te preocupes acerca de ti y tratar de mover. La topología se ha ido a más y refinado muchas veces en el centenar de años ha sido alrededor y usted puede estar seguro de que las definiciones que están viendo son naturales y muy útil. Usted también puede estar seguro de que, en el transcurso de sus estudios en matemáticas, usted llegará a través de la topología de nuevo y de nuevo, y esto le dará la oportunidad de volver a hacer las preguntas que usted ha estado preguntando por ti mismo. Cada vez que voy a obtener más y más respuestas.

6. (opcional) Aprender definiciones equivalentes. La razón de esto es opcional es que un montón de personas que han sobrevivido perfectamente con las definiciones usuales de la topología, y ciertamente no debe gastar su tiempo aprendiendo un montón de otras definiciones, si usted está teniendo problemas con los existentes. Sin embargo, puede ser útil para aprender algunas maneras alternativas de ver las cosas. Por ejemplo, aquí están algunas de las alternativas para el 'abra' definición de topología:

   • Sistema de open básica barrios - Esto es bastante similar a la de "abrir la definición de conjunto', pero en lugar de exigir que nuestra colección de conjuntos de ser cerrado bajo los sindicatos y todas las intersecciones finitas, sólo requerimos que la intersección de dos abiertos barrios puede ser escrito como la unión de abierto básicos en los barrios. Esta definición es técnicamente menos precisa que la definición habitual, ya que los diferentes sistemas de b.o.n.s puede dar lugar a la misma topología, pero a veces es más natural. Por ejemplo, la topología de un espacio métrico es inducida por el sistema de open básica barrios dada por $\epsilon$-bolas de $B(x,\epsilon)$.

   • Cierre operador Es interesante que la topología de un espacio de $X$ se puede deducir a partir de la clausura del operador $\text{Cl}\colon\mathcal P(X)\a\mathcal P(X)$. Esto da lugar a una indemnización equivalente a la definición de un espacio topológico; véase Wikipedia.

   Por compacidad:

   • La compacidad secuencial. Esto sólo funciona para la métrica de los espacios, pero sigue siendo divertido. Un espacio métrico es compacto si y sólo si es secuencialmente compacto - cada secuencia tiene una convergente larga

   • Categórica compacidad. Un espacio topológico $X$ es compacto si y sólo si para cada espacio topológico $Y$ el mapa de proyección de $\pi_Y\colon X\times Y\a de$ Y es un cerrado mapa. Ver esta nota.

Answer 2

Su pregunta se pide un libro de texto. Hasta que encuentre uno, usted podría tratar de conectar esta definición a lo que se puede saber acerca de las funciones continuas de una variable real. Supongamos que $\tau$ es el conjunto de todos los sindicatos de abrir los intervalos de $(a,b)$. Trate de escribir la "$\epsilon\delta$" definición de continuidad mediante el uso de elementos de $\tau$ en lugar de los intervalos.

Answer 3

Yo sugeriría primer estudio de un bien, avanzado libro de texto de cálculo multivariable, con un enfoque en la función de distancia en el espacio Euclidiano, el concepto de open subconjuntos del espacio Euclidiano, y la multitud de $\epsilon\delta$ pruebas en el cálculo multivariable.

A continuación, me gustaría sugerir encontrar un buen libro de texto sobre la métrica de los espacios, de nuevo centrado en el concepto de subconjuntos abiertos en relación a los $\epsilon\delta$ pruebas. Me gusta bastante este libro.

Con este telón de fondo, que deben haber desarrollado una buena intuición para abrir conjuntos, la preparación para las definiciones abstractas de la Topología.

Answer 4

Topología está a punto de suministro de un conjunto $X$, con la más simple posible no trivial concepto de vecindad, donde un punto en $X$ podría estar cerca de un subconjunto de $X$, sin tiempo de ser un miembro del conjunto. Esos puntos son los puntos en el cierre de un conjunto.

Topología también puede ser definido por el cierre de la función.

La teoría de conjuntos es sobre qué puntos o elementos que son miembros de un conjunto. En la topología de una estructura, se añade: más allá de la cuestión de que los puntos que son miembros ahora la cuestión de que los puntos que están en el cierre del juego puede ser contestada.

Ejemplo: $1\noen (0,1)\subconjunto\mathbb R$ pero cualquier conjunto abierto, incluyendo $1$ incluye también algunos puntos de este intervalo $(0,1)$: $1$ es $(0,1)$, o mejor, $1$ es en el cierre de $(0,1)$. Si $\mathcal O$ es un conjunto abierto, incluyendo $1$, entonces $\mathcal O \cap (0,1)\neq \emptyset$. La forma en que el conjunto $\mathbb R$ se define, suministros de $\mathbb R$ con es bien sabido topología (vincinity).