Demostrar que $\cosh^{-1}(1+x)=\sqrt{2x}(1-\frac{1}{12}x+\frac{3}{160}x^2-\frac{5}{896}x^3+....)$

Question

¿Cómo podemos demostrar la expansión en serie de
$$\cosh^{-1}(1+x)=\sqrt{2x}\left(1-\frac{1}{12}x+\frac{3}{160}x^2-\frac{5}{896}x^3+...\right)$$

---

Conozco la fórmula para $\cosh^{-1}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$ Así que.., $$\cosh^{-1}(1+x)=\ln(1+x+\sqrt{x^2+2x}).$$ He intentado aplicar la serie Maclaurin pero no he podido encontrar el $f(0),f'(0),f''(0),f'''(0)$
¿Existe algún otro método para demostrar esta expansión en serie, como la serie de Laurent, etc.?

Por favor, ayúdenme. Gracias.

Answer 1

El truco está en reconocer el $1/\sqrt x$ singularidad en la derivada de la función de interés y transformar la serie en una serie en $\sqrt x$ .

Para proceder, sustituimos $z=\sqrt{x}$ . Entonces, tenemos

$$\begin{align} \cosh^{-1}(1+x)&=\cosh^{-1}(1+z^2)\\\\ &=\log\left((z^2+1)+z\sqrt{z^2+2}\right)\tag 1 \end{align}$$

Ahora, ampliando $f(z)=\log\left((z^2+1)+z\sqrt{z^2+2}\right)$ en una serie en torno a $z=0$ revela

$$\begin{align} f'(z)&=\frac{1}{(z^2+1)+z\sqrt{z^2+2}}\left(2z+\sqrt{z^2+2}+\frac{z^2}{\sqrt{z^2+2}}\right)\\\\ &=\frac{2}{\sqrt{z^2+2}} \end{align}$$

Entonces, continuando con la diferenciación, encontramos que

$$\begin{align} f^{(2)}(z)&=-2z(z^2+2)^{3/2}\\\\ f^{(3)}(z)&=4(z^2-1)(z^2+2)^{-5/2}\\\\ f^{(4)}(z)&=-12z(z^2-3)(z^2+2)^{-7/2}\\\\ f^{(5)}(z)&=24(2z^4-12z^3+3)(z^2+2)^{-9/2} \end{align}$$

Evaluarlos en $z=0$ revela

$$\begin{align} f(z)&=f(0)+f'(0)z+\frac12f^{(2)}(0)z^2+\frac16f^{(3)}(0)z^3+\frac1{24}f^{(4)}(0)z^4+\frac1{120}f^{(5)}(0)z^5+O(z^7)\\\\ &=\sqrt 2\,z-\frac{\sqrt{2}}{12}z^3+\frac{3\sqrt 2}{160}z^5+O(z^7)\\\\ &=\sqrt{2x}\left(1-\frac1{12}x+\frac{3}{160}x^2+O(x^3)\right) \end{align}$$

Answer 2

Pienso en $x$ tan pequeño. $\alpha,\beta,\gamma$ también son pequeñas y dependen de $x$ de una manera que aún no conozco. $\alpha$ es el mayor término; $\beta$ es el siguiente más grande, entonces $\gamma$ etc. Los traigo según sea necesario.
$$\cosh(\alpha+\beta+\gamma+...)=1+x$$ Orden principal: $$1+\frac{\alpha^2}2=1+x+o(x)\text{ , so }\alpha=\sqrt{2x}$$
Siguiente pedido: $$1+\frac{\alpha^2}2+\alpha\beta+\frac{\alpha^4}{24}=1+x+o(x^2)\text{, so }\beta=-\alpha^3/24=-\sqrt{2x}\frac x{12}$$

Answer 3

Si sólo quieres encontrar los primeros términos, entonces considera obtener una serie de potencias para la función

$$g(x) = \frac{\cosh^{-1}(1+x)}{\sqrt{x}}=\frac{\ln (1+x+\sqrt{x^2+2x})}{\sqrt{x}}$$ tomando derivadas y evaluando en $x=0$ . Entonces se puede multiplicar la serie de potencias por $\sqrt{x}$ .

Hay cierta circulación en este argumento en el sentido de que la elección de $\sqrt x$ vino de saber cuál es la respuesta. No es infrecuente elegir una potencia arbitraria de $x$ al principio, y ver qué funciona.

El problema de este enfoque es que hay que utilizar la regla de L'Hopital cada vez que se evalúa una derivada, tomando un límite en cero.

La forma más inteligente es utilizar expansiones asintóticas, que es más o menos lo que @Michael hizo en su respuesta.