Pregunta de cálculo estocástico

Question

Soy nuevo aquí y estaba esperando que alguien me pueda ayudar a responder esta pregunta. Estoy leyendo un papel y estoy un poco confundida sobre cómo ir desde 1 ecuación para la siguiente. Ellos dicen:

Vamos \begin{align} x(t) = {} & \exp\left\lbrace \int_0^t \left[\frac{\alpha(s)^2}{2} - a(s) \right] \, ds - \alpha(s) \, dB(s)\right\rbrace \\ & \times \left[ x_0 + \int_{0}^{t} b(s)\exp\left\lbrace \int_0^s \left[ a(\tau)-\frac{\alpha(\tau)^2}{2}\right] \, d\tau + \alpha(\tau) \, dB(\tau) \right\rbrace \, ds \right] \end{align}

A continuación, $x(t)$ satisface la ecuación:

$$dx(t) = [(\alpha(t)^2 - a(t))\, dt - \alpha(t)\,dB(t)]x(t) + b(t)\,dt$$

Ahora he trabajado a través de este, pero cuando use su $x(t)$ y calcular el $dx(t)$, me sale lo siguiente:

$$dx(t) = \left[\left(\frac{\alpha(t)^2}{2} - a(t)\right) \, dt - \alpha(t)\,dB(t)\right]x(t) + b(t)\,dt$$

Aquí, $a(t), b(t),$ $\alpha(t)$ T-funciones periódicas. La única diferencia es que extra $\frac{1}{2}$ tengo donde ellos no. Del mismo modo, si yo comienzo con su $dx$ e integrar, me sale:

\begin{align} x(t) = {} & \exp\left\lbrace \int_0^t \left[\alpha(s)^2 - a(s) \right] \, ds - \alpha(s) \, dB(s)\right\rbrace \\ & \times \left[ x_0 + \int_0^t b(s)\exp\left\lbrace \int_0^s \left[ a(\tau)-\alpha(\tau)^2\right] \, d\tau + \alpha(\tau)\,dB(\tau)\right\rbrace \, ds \right] \end{align}

Y ahora que $\frac{1}{2}$ falta. Que $\frac{1}{2}$ es muy importante para el resto del papel, y yo no puedo averiguar a dónde va. Puede alguien por favor ayuda?

Answer 1

Deje $\ \text df_s = -(\frac{\alpha_s^2}{2}-a_s)\text ds + \alpha_s\text dB_s\ $ y consideran que, por la regla del producto, tenemos $$ \text d\Big(x_se^{f_s}\Big) = (\text d x_s) e^{f_s} + x_s\text d(e^{f_s}) + \text d\langle x, e^{f}\rangle_{s}\etiqueta{1} $$

Ahora, desde la $\text dx_s = ((\alpha_s^2 - a_s)\text ds - \alpha_s\text dB_s)x_s+b_s\text ds$, se observa que la

$\text d(e^{f_s}) = e^{f_s}\Big(\text df_s + \frac{1}{2}\text d\langle f \rangle_s\Big) = e^{f_s}\Big(\frac{1}{2}\alpha_s^2\text ds-\frac{\text dx_s-b_s\text ds}{x_s} + \frac{1}{2}\alpha_s^2\text ds \Big) = e^{f_s}\Big(\alpha_s^2\text ds-\frac{\text dx_s-b_s\text ds}{x_s} \Big)\,,\tag{2}$

y

$$\text d\langle x,e^{f} \rangle_s = -e^{f_s}\alpha_s^2x_s\text ds\,.\tag{3}$$

Usando (2) y (3) en (1) da

$$ \text d\Big(x_se^{f_s}\Big) = e^{f_s}b_s\text ds\,. $$

Por lo tanto,

$$x_te^{\int_{0}^{t}-(\frac{\alpha_s^2}{2}-a_s)\text ds + \int_{0}^{t}\alpha_s\text dB_s}-x_0 = \int_{0}^{t}b_se^{\int_{0}^{s}-(\frac{\alpha_r^2}{2}-a_r)\text dr + \int_{0}^{s}\alpha_r\text dB_r}\text ds$$

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Una forma de calcular las $\text d \langle x, e^f \rangle_s$ es mediante el uso de (2) y la declaró definición de $\text dx_s$. Formalmente, tenemos $$ \begin{eqnarray*} \text d\langle x, e^f\rangle_s &=& \text dx_s\cdot\text de^{f_s} = \text dx_s\cdot \Big(-e^{f_s}\frac{\text dx_s}{x_s}+e^{f_s}(\frac{b_s}{x_s}+\alpha_s^2)\text ds\Big) \\ &=& -e^{f_s}\frac{\text dx_s\cdot\text dx_s}{x_s}+e^{f_s}(\frac{b_s}{x_s}+\alpha_s^2)\text dx_s\cdot\text ds \\ &=& -e^{f_s}\frac{\text d\langle x\rangle_s}{x_s}+e^{f_s}(\frac{b_s}{x_s}+\alpha_s^2)\text d\langle x, s\rangle_s = -e^{f_s}\frac{\alpha_s^2x_s^2\text ds}{x_s} \\ &=& -e^{f_s}\alpha_s^2x_s\text ds. \end{eqnarray*} $$

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Para obtener una forma preferida de $f$ uno podría empezar por la postulación de la existencia de un "factor de integración" $e^{f_s}$, en términos de algunos como aún no se ha determinado Ito proceso, $\text df_s = u_s\text ds + v_s\text dB_s$, de tal manera que el Ito proceso definido por la SDE $\text dx_s$ satisface $$ \text d(x_se^{f_s}) = e^{f_s}\text dx_s-x_sge^{f_s} = e^{f_s}b_s\text ds\etiqueta{4} $$

donde $g=((\alpha_s^2 - a_s)\text ds - \alpha_s\text dB_s)$. Pero, usando (1) en el lado izquierdo de (4), se requiere necesariamente $$ e^{f_s}\text dx_s-x_sge^{f_s} = (\text d x_s) e^{f_s} + x_s\text d(e^{f_s}) + \text d\langle x, e^{f}\rangle_{s}.\la etiqueta{5} $$

A partir de (5), mediante la sustitución de las formas de $g$, $\text df_s$, $\text dx_s$, y haciendo caso omiso de los términos con cero cuadrática (co)la variación, obtenemos $$ \Big(u_s + \frac{1}{2}v_s^2 - \alpha_sv_s + \alpha_s^2 - a_s\Big)\text ds +(v_s-\alpha_s)\text dB_s = 0,\ \forall s $$ a partir de la cual las formas de $u_s$ $v_s$ puede deducir. Ahora podemos ver que requerimos

$$ \text df_s = -\Big(\frac{\alpha^2_s}{2}-a_s\Big)\text ds + \alpha_s\text dB_s\,. $$