Inductivo Prueba de Vandermonde de la Identidad?

Question

Estoy leyendo en los Vandermonde de la Identidad, y por ahora no han encontrado pruebas de la identidad mediante la combinatoria, conjuntos, y otros métodos. Sin embargo, estoy tratando de encontrar una prueba que utiliza la inducción matemática. ¿Alguien sabe de una prueba?

Para aquellos que no saben de Vandermonde de la Identidad, aquí está:

Para cada $m \ge 0$, y cada una de las $0 \le r \le m$ si $r \le n$, luego

$$ \binom{m+n}r = \sum_{k=0}^r \binom mk \binom n{r-k} $$

Answer 1

Tenemos el uso de la recursividad de la fórmula para los coeficientes binomiales la siguiente para la inducción paso \begin{align*} \binom{m + (n+1)}r &= \binom{m+n}r + \binom{m+n}{r-1}\\ &= \sum_{k=0}^r \binom mk\binom n{r-k} + \sum_{k=0}^{r-1} \binom mk\binom{n}{r-1-k}\\ &= \binom mr + \sum_{k=0}^{r-1} \binom mk\biggl(\binom n{r-k} + \binom n{r-1-k}\biggr)\\ &= \binom mr\binom{n+1}0 + \sum_{k=0}^{r-1} \binom mk\binom{n+1}{r-k}\\ &= \sum_{k=0}^r \binom mk \binom{n+1}{r-k} \end{align*}