Para los polinomios, las integrales convergen iff el grado de $f(x)$ es de al menos 3. Para mostrar esto, se quita un intervalo de $(-a,a)$ que contiene los ceros de $f'(x)$ (más que la integral trivialmente converge), y volver a escribir el resto de integral como
$$\int_{|x| > a} {x \over f'(x)} (f'(x)\sin f(x))\,dx$$
Por definición, la integral converge si el $x > a$ $x < -a$ piezas de ambos convergen. Nos centramos en la $x > a$ parte como el $x < -a$ parte se realiza de la misma manera. Siguiente, integrar por partes, la obtención de
$$-\lim_{un \rightarrow \infty} {\más de f'(a)}\cos(f(a)) + {un \más de f'(a)}\cos(f(a)) +
\int_a^{\infty}({d \más de dx}{x \más de f'(x)}) \cos(f(x))\,dx $$
Si $f(x)$ es un polinomio de grado $2$ o más, $({d \over dx}{x \over f'(x)})$ es una función racional cuyo denominador que excede de la que el numerador por, al menos,$2$, por lo que tiene una estimación de $|({d \over dx}{x \over f'(x)})| < C{1 \over x^2}$ para algunas constantes $C$. Por lo tanto la integral converge en comparación con $C{1 \over x^2}$.
Si el grado de $f(x)$ es de al menos tres, entonces el grado de $f'(x)$ al menos $2$ y -$$\lim_{a \rightarrow \infty}{a \over f'(a)}\cos(f(a)) = \lim_{a \rightarrow \infty}{a \over f'(a)} = 0$$
Como resultado, si $f(x)$ tiene el grado $3$ o más, en general, la integral converge.
Si el grado de $f(x)$ es de dos, a continuación, $f'(x)$ tiene el grado $1$ $\lim_{a \rightarrow \infty}{a \over f'(a)}$ es de algún valor distinto de cero. Por tanto, la función ${a \over f'(a)}\cos(f(a))$ oscila y no hay límite; el original de la integral diverge.
Todo lo que queda es el caso donde $f(x)$ tiene el grado uno. Para esto es probablemente más fácil sólo para mostrar que la integral sobre un período dado diverge como $x$ va al infinito; diverge más rápido que la integral de $\cos(f(x))$ que ya se bifurca.
La técnica anterior puede ser utilizado para nonpolynomials demasiado, pero yo no conozco a ningún suficiente y condiciones necesarias para que funcione con la guardia baja.
