Aparentemente imposible integral doble reducción

Question

Mostrar que $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(xy)^{xy}dxdy = \int_{0}^{1}y^{y}dy$

He probado el método utilizado en la integral de Gauss, coordenadas polares, exp(.) y ln(.) de ambos lados de el integrando...

Gauss integral: https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral

También he mirado en el segundo sueño de la función, pero no estoy seguro de cómo proceder de esa manera en este caso.

Segundo sueño de la función: https://en.wikipedia.org/wiki/Sophomore%27s_dream

Ahora estoy atascado. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

$$ \begin{align} \int_0^1\int_0^1(xy)^{axy}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^1\int_0^yx^{ax}\,\mathrm{d}x\frac1y\,\mathrm{d}y\tag{1}\\ &=\int_0^1\int_x^1\frac1y\,\mathrm{d}y\,x^{ax}\,\mathrm{d}x\tag{2}\\ &=\int_0^1(-\log(x))\,x^{ax}\,\mathrm{d}x\tag{3}\\ &=\int_0^1x^{ax}\,\mathrm{d}(x-x\log(x))\tag{4}\\ &=\int_0^1x^{ax}\,\mathrm{d}x-\int_0^1e^{ax\log(x)}\,\mathrm{d}x\log(x)\tag{5}\\ &=\int_0^1x^{ax}\,\mathrm{d}x-\frac1a\left[\,\vphantom{\int}x^{ax}\,\right]_0^1\tag{6}\\ &=\int_0^1x^{ax}\,\mathrm{d}x\tag{7} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: sustituto $x\mapsto\frac xy$
$(2)$: cambio de orden de integración
$(3)$: integrar en $y$
$(4)$: $\mathrm{d}(x-x\log(x))=-\log(x)\,\mathrm{d}x$
$(5)$: separar las integrales, señalando que $x^{ax}=e^{ax\log(x)}$
$(6)$: sustituto $u=x\log(x)$, $\int e^{ax\log(x)}\,\mathrm{d}x\log(x)=\int e^{au}\,\mathrm{d}u=\frac1ae^{au}{+}C=\frac1ax^{ax}{+}C$
$(7)$: $\left[\,\vphantom{\int}x^{ax}\,\right]_0^1=0$

Establecimiento $a=1$ los rendimientos de la ecuación en la pregunta $$ \int_0^1\int_0^1(xy)^{xy}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int_0^1^x\,\mathrm{d}x $$ Establecimiento $a=-1$ los rendimientos de una ecuación similar para el otro estudiante de Segundo año de Ensueño integral: $$ \int_0^1\int_0^1(xy)^{-x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int_0^1^{-x}\,\mathrm{d}x $$

Answer 2

Supongamos que tenemos una función de $f: (x,y) \mapsto f(x,y)$ que queremos integrar más de un dominio $D$. Nuestros integral se ve así:

$$\iint_D f(x,y) dy dx $$

Si queremos hacer de la integral mediante un cambio de variables, lo que realmente estamos haciendo es que estamos pasando de un sistema de coordenadas a otro.

Si nuestras variables nuevas se $u = u(x,y)$$v = v(x,y)$, $f(x,y)$ debe ser reemplazado por $f(u,v)$, y el plazo $dy dx$ ahora vuelve $|J| dudv$ donde $J$ se llama el Jacobiano de la transformación; en tal situación, es dada por:

$$J = \det \left( \begin{matrix} \partial x/ \partial u && \partial x / \partial v \\ \partial y / \partial u && \partial y/ \partial v \end{matrix} \right)$$

Y el dominio de $D$ de integración se convierte en otro (decir $\Delta$). La integral finalmente debe verse así:

$$\iint_{\Delta} f(u,v) |J| dv du $$

En su caso, la transformación es:

$$\begin{cases} u = xy \\ v = y \end{cases}$$

El Jacobiano es $1/v$. El nuevo dominio es $\Delta = [0,1] \times [0,v]$, y su integral es:

$$I = \int_0^1 \int_0^v u^u \frac1{v} dv du = \int_0^1 (\int_0^v u^u du) \frac1v dv = \int_0^1 f(v) \frac1v dv$$

Deje $S$ ser la segunda versión de "Segundo Sueño". La integración por partes,

$$I = f(v) \log v \mid_0 ^1 - \int_0^1 v^v \log v dv = - \int_0^1 v^v \log v dv = - \int_0^1 v^v (\log v + 1 - 1) dv = - \int_0^1 e^{v \log v} (\log v + 1) dv + S =- \int_0^1 e^{v \log v} d(v \log v) + S = - e^{v \log v} \mid_0 ^1 + S = S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^n}$$