Generador de la multiplicación de los grupos de unidades en $\mathbb{Z_5[x]}/(x^{2}+3x+3)$

Question

Me gustaría encontrar un generador de la multiplicación de los grupos de unidades en $\mathbb{Z_5[x]}/(x^{2}+3x+3)$. Este es un campo desde $x^{2}+3x+3$ es irreductible, por lo que cada coset con $bx+a\not=0$ como un representante debe ser una unidad de...

No entiendo cómo ir de aquí, aunque... Desde $b\not=0$ tenemos $4$ diferentes opciones para $b$ $5$ diferentes opciones para el coeficiente $a$ por lo tanto $24$ elementos en el grupo multiplicativo de las unidades.

Si alguna $bx+a$ con el fin de $24$ ser un generador? ¿Cómo puedo ir desde aquí?

Answer 1

Basta para descartar la máxima factores de $24$, es decir, $8=24/3$ $12=24/2$ como órdenes posibles. El (coset) $x$ se ajusta a la ley, porque $$ x^4=(-x^2)^2\equiv (3x+3)^2=4(x^2+2x+1)=-x^2+3x+4\equiv6x+7=x+2, $$ por lo tanto, no $$ x^8=(x^4)^2\equiv(x+2)^2=x^2+4x+4\equiv x+1 $$ no $$ x^{12}=x^8\cdot x^4\equiv(x+2)(x+1)=x^2+3x+2\equiv-1 $$ son iguales a $1$.

El punto es que los otros órdenes posibles ($2,3,4,6$) que están a menos de $24$ son factores de cualquiera de las $8$o $12$.

Ahora que llegamos a un acuerdo $x$ es un generador, los otros generadores se pueden encontrar mediante la reducción de los poderes $x^j$, $0<j<24, \gcd(j,24)=1$ módulo del generador de $x^2+3x+3$.