suma y el producto de dos números racionales son ambos enteros

Question

Agradecería si alguien me podría ayudar con el siguiente problema

P: ¿Cómo se prueba

Si la suma y el producto de dos números racionales son ambos enteros, entonces los dos números racionales deben ser números enteros.

gracias!

Answer 1

Esto puede no ser la más sencilla prueba, pero creo que es bastante. Deje que sus dos números racionales se $r,s$. Entonces el polinomio $f(x)=(x-r)(x-s)=x^2-(r+s)x+rs$ tiene coeficientes enteros por la validez de sus hipótesis. Por Gauss Lema, este polinomio debe ser reducible sobre los números enteros, y, por tanto, $r,s$ son ambos enteros.

Answer 2

Deje $p,q$ ser racional. A continuación,$p+q=n\in\mathbb{Z}\implies p=n-q$. Así que vamos a $\displaystyle q=\frac{a}{b}$ en términos mínimos. Luego tenemos la $(n-\frac{a}{b})\frac{a}{b}=m\in\mathbb{Z}\implies na-\frac{a^2}{b}=mb\implies\frac{a^2}{b}\in\mathbb{Z}\implies \frac{a}{b}\in\mathbb{Z}$ desde $\frac{a}{b}$ son coprime. Por lo $q$, por lo tanto también es $p$ son enteros.

Answer 3

Conectando $x=a$$x=b$, vemos que $$ x^2-(a+b)x+ab=0 $$ Como se muestra en esta respuestaracional raíz de un monic polinomio con coeficientes enteros debe ser un entero.

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La importación al que se hace Referencia Respuesta

Se ha sugerido que se especializa la prueba en la referencia anterior a la respuesta a la polinomios cuadráticos podría ser útil.

Supongamos $x=\frac pq$ donde $ps+qr=1$, es una raíz de $x^2+mx+n=0$ donde $m,n\in\mathbb{Z}$.
Subsitute $x=\frac{1-qr}{qs}$ $$ \frac{(1-qr)^2}{q^2s^2}+m\frac{1-qr}{q}+n=0 $$ Multiplicar por $pqs^2$ $$ \left(\frac pq-2pr+pqr^2\right)+pms(1-qr)+npqs^2=0 $$ la cancelación de los rendimientos $$ \frac pq=2pr-pqr^2+pms(qr-1)-npqs^2 $$ En particular, $x=\frac pq\in\mathbb{Z}$.

Answer 4

Comenzando con la ecuación proporcionada por Vadim arriba, $x^2-(r+s)x + rs=0$, para tomar racional raíz de $a/b$,$\gcd(a,b)=1$. Llegamos, después de eliminar el denominador: $a^2 -b(r+s)x +rsb^2=0$,que puede ser reescrito para mostrar $a^2$ es un múltiplo de a$b$, lo que contradice el hecho de que $a$ $b$ co-prime. (Esta es esencialmente la prueba de que un número racional es una expresión algebraica de enteros es un número entero, por la cuadrática caso).

Answer 5

$\underbrace{\dfrac{a}b\!+\!\dfrac{c}d}_{\large (a,b)\,=\,1}\! =n\in\Bbb Z,\ \dfrac{a}b\not\in\Bbb Z\overset{\large \exists\, p\ {\rm prime}}\Rightarrow$ $\begin{array}{}p\nmid a\\ p\mid b\end{array}$ $\Rightarrow$ $\,\dfrac{a}b\dfrac{c}d = \dfrac{a}b\!\!\!\dfrac{\,(bn\!-\!a)}{b}\!\not\in\Bbb Z\,$ por $\,\begin{array}{} p\nmid a,\, bn\!-\!a\\ p\mid b\end{array}\ $ QED