$x^p-c$ no tiene raíz en un campo $F$ si y sólo si $x^p-c$ es irreducible?

Question

Hungerford del libro de álgebra tiene de ejercicio de $6$ capítulo $3$ sección $6$ [Probablemente imposible con las herramientas a la mano.]:

Deje que $p \in \mathbb{Z}$ ser una de las primeras; deje que $F$ ser un campo y dejar que $c \in F$. Entonces $x^p - c$ es irreducible en $F[x]$ si y sólo si $x^p - c$ no tiene raíz en $F$. [Sugerencia: considere dos casos: char$(F) = p$ y char$(F)$ diferentes $p$.]

He intentado mucho en esto. Alguien tiene una respuesta?

Answer 1

Tal vez la herramienta más simple que se me ocurre es la siguiente:

Deje que $F$ ser un campo y $f(x)$ un polinomio irreducible de más de $F$, entonces hay un campo $K\geq F$ donde $f(x)$ tiene una raíz; $f(x)$ es irreducible en $F[x]$, un director ideal de dominio, entonces $\langle f(x)\rangle$ es un ideal maximal de $F[x]$, por lo tanto $K=F[x]/\langle f(x)\rangle$ es un campo, $\bar{x}$ es una raíz de $f(x)$, y es fácil ver cómo incrustar $F$ en $K$; canónica de proyección. Ahora, dado un polinomio $f(x)\en F[x]$ es claro cómo construir un campo $K\geq F$ tal que $f(x)$ factores en el lineal de los polinomios en $K[x]$.

Ahora tu pregunta puede ser respondida de la siguiente manera:

Deje que $K\geq F$ ser un campo donde $x^p-c$ factores lineales, polinomios, por ejemplo, de $x^p-c=(x-z_1)\cdots(x-z_p)$. Supongamos que $x^p-c$, no es irreducible en $F[x]$, entonces existen polinomios $f(x),g(x)\en F[x]$ grado $\geq 1$ que $x^p-c=f(x)g(x)$, entonces podemos suponer que $f(x)=(x-z_1)\cdots(x-z_n)$, donde $\deg f(x)=n<p$. Poner $z=z_1\cdots z_n$, entonces $z$ es el término constante de $f(x)$, entonces $z\in F$, y claramente $z^p=c^n$. Como $p$ es primo existen enteros $a,b$ tales que $1=ap+bn,$ entonces $$(c^az^b)^p=c^{ap}z^{pb}=c^{ap}c^{bn}=c,$$ pero $c^az^b\in F$, entonces $x^p-c$ tiene una raíz en $F$.