La razón detrás de la definición de colector de

Question

Yo iba a fondo, la definición de un colector y no hace falta decir que no era algo que yo podía digerir de una sola vez. Entonces vi el siguiente Quora enlace y Qiaochu ilustrativo respuesta.

Fue genial ver a la motivación detrás del concepto de colector. Entonces miré en la definición de colector que tengo a mi disposición, que es la siguiente:

Un espacio topológico $M$ $n$- dimensiones reales del colector si hay una familia de subconjuntos de $U_\alpha$, $\alpha \in A$, de $\mathbb{R}^n$ y un cociente mapa de $f \colon \coprod_\alpha U_\alpha \to M$ tal que $f|_{U_\alpha}$ es un homeomorphism en la imagen para todos los $\alpha$.

Entiendo que estamos tratando de conceptualizar acerca de un espacio más grande que cuando se mira en una región muy pequeña ve como algo más (un espacio euclidiano) dando así una posiblemente incorrecta imagen más grande sobre la forma. Ahora, ¿cuál fue la razón detrás de la introducción de la desunión de la unión en esta definición. Alguien me puede ayudar a conseguir en los términos de esta idea? Me fui a través de esta pregunta relacionada con la de Samuel y la brillante respuesta.

Dejando de lado los puntos acerca de Haussdorff y segundo contables espacios podía dibujar que homeomorphism es el concepto que usamos para expresar la similitud entre dos espacios. Me libre puede convencerme de que la existencia de homeomorphism entre dos espacios significa que la similitud en el patrón de bloques abiertos en los dos espacios. (Yo no podría estar expresando lo que siento al respecto.) Pero aún entonces cualquiera puede hacer un poco más elaborado en cuanto a por qué usamos homeomorphism aquí? Si dividimos esta superficie es mayor, digamos de la tierra en pequeños círculos, entonces puedo ver que no habríamos conseguido el local de la misma forma en todas partes, en algún lugar habría sido un círculo y algunos otros puntos que habría sido un área de entre los cuatro círculos o tal vez algo más. Pero son estas formas locales de homeomórficos a $\mathbb{R}^2$? ¿Cuáles son otras formas que no han sido homeomórficos a $\mathbb{R}^2$?

Supongo que "Lo que sucede cuando dos espacios son homeomórficos?" sería una buena manera de empezar el debate.

Answer 1

"Ser homeomórficos" es una muy fuerte afección de los espacios - que significa que tenemos un bijection entre los conjuntos subyacentes de los espacios que es continua, y cuya inversa es continua. En particular, usted también consigue un bijection entre la apertura de los conjuntos de los dos espacios.

Por lo tanto, podemos considerar dos espacios que son homeomórficos a ser "esencialmente el mismo" para los fines de la topología.

Entonces, ¿qué va mal con su "Tierra" analogía? Sospecho que cuando dices "círculo" que significa "disco" (un círculo, por ejemplo, es $\{x \in \mathbb R^2 \: | \: |x| = 1\}$ mientras que el(n abierto) disco es, por ejemplo,$\{x \in \mathbb R^2 \: | \: |x| < 1\}$). Los círculos no están abiertos en la normal de la topología en una esfera, por lo que sin duda queremos estar pensando acerca de los discos.

Usted dice que "algunos otros puntos que habría sido un área de entre los cuatro [discos] o tal vez algo más" - esto es cierto, pero cuando se trata de un colector estamos siempre cuidado para asegurarse de que el abrir los discos elegimos cubrir completamente el colector. Esto significa que cada punto de $p$ es en algunas de las $U_\alpha$.

Creo que parte de la confusión es que la definición que has dado no es (a mi parecer) es la más natural. En mi opinión la mejor forma de abordarlo es como sigue: un colector es un espacio topológico $M$, y una colección de abrir conjuntos de $\{U_\alpha : \alpha \in A\}$ que cubren $M$ (dado lo $p \in M$ podemos encontrar algunos de $\alpha$$p \in U_\alpha$), y de la correspondiente colección de $\{V_\alpha : \alpha \in A\}$ de subconjuntos abiertos de $\mathbb R^n$, y una colección de homeomorphisms $\phi_\alpha: U_\alpha \to V_\alpha$. (También hay la hipótesis acerca de Hausdorff, segundo contables, etc., pero estos no son la clave para la comprensión de la idea de un colector.)

Esta definición es equivalente a la que dio, pero se hace más claro que lo que estamos cuidando es que en cada punto de $p$, el colector $M$ localmente se ve como un subconjunto de a $\mathbb R^n$.

No estoy seguro de si eso completamente respuestas a sus preguntas, siéntase libre de comentar si había algo más específico que fue confuso.

Answer 2

La definición que hemos dado es el uso de un discontinuo de la unión como una especie de taquigrafía para una colección de mapas. Después de todo, un mapa de $f: \coprod_\alpha U_\alpha \to M$ es equivalente a una colección de mapas de $\{f_\alpha: U_\alpha \to M\}$ donde $f_\alpha = f|_{U_\alpha}$. El $f_\alpha$ son los gráficos del colector que identificar un subconjunto abierto de $M$ con un subconjunto de a $\Bbb R^n$.

La definición de colector de la que estoy más familiarizado con es la siguiente: Un espacio topológico $M$ $n$- dimensiones del colector de si existen subconjuntos abiertos $U_\alpha \subseteq \Bbb R^n$, $V_\alpha \subseteq M$, y homeomorphisms $f_\alpha: U_\alpha \to V_\alpha$ tal que $\bigcup_\alpha V_\alpha = M$ (es decir, cada punto en $M$ es en algunas gráfico de $V_\alpha$). Vamos a suponer también que $M$ es segundo contable y Hausdorff. Personalmente, creo que esta definición es un poco más transparente. Es más fácil visualizar lo que esta definición está diciendo.

Ahora, para tu pregunta acerca de lo que un homeomorphism realmente significa. Intuitivamente, dos espacios son homeomórficos si son completamente equivalentes para los fines de la topología. Cualquier topológico de la construcción, o topológico de la propiedad a demostrar sobre un espacio tendrá para un homeomórficos espacio. Realmente son es exactamente el mismo.

Más técnicamente, un homeomorphism $f: X \to Y$ es en primer lugar un bijection de conjuntos, lo que demuestra que si usted comienza con $X$ y sólo re-etiquetar los puntos, entonces usted consigue $Y$, como un conjunto. Más que eso, aunque, $f$ también induce un bijection sobre los conjuntos de abrir los subconjuntos. Deje $\tau_X$ ser la topología en $X$, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de a $X$. De la misma manera por $\tau_Y$. Entonces tenemos un bijection $f: \tau_X \to \tau_Y$$U \mapsto f(U)$. Por lo tanto, la homeomorphism $f$ muestra que si usted comienza con $X$ y re-etiquetar sus subconjuntos abiertos, se termina con el abierto de subconjuntos de a $Y$. Así que si todo lo que importa es la colección de subconjuntos abiertos de un espacio (es decir, que estás haciendo topología), entonces homeomórficos espacios sólo se diferencian por la forma en que la etiqueta de los puntos y abrir subconjuntos (que, obviamente, no hace ninguna diferencia tangible).