Los análogos de la p de Weierstrass función para mayores género compacto de las superficies de Riemann

Question

Hubo un post anterior sobre la correspondencia entre las superficies de Riemann y la geometría algebraica. Quiero pedir un trabajo relacionado, pero más detallado de la cuestión.

ANTECEDENTES:
Engelbrekt dio una visión general de cómo empezar con un compacto de las superficies de Riemann y mapa en espacio proyectivo Los vínculos entre las superficies de Riemann y la geometría algebraica

En el caso de un género 1 superficie X hay una muy explícita de la construcción. Es decir, X puede ser realizado como ℂ/L, por un entramado L ≅ ℤxℤ. A partir de aquí la p de Weierstrass de la función y su derivada puede ser construido

http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass%27s_elliptic_functions

y estos te dan un mapa ℂ/L --> ℙ^2 a través de z |--> [p(z), p'(z), 1], que da cuenta de X como de un grado de tres curva en ℙ^2

PREGUNTA:
Dicen ahora que X es un compacto de superficie de Riemann de género g > 1. Como ha sido señalado a continuación se debe restringir a decir g = 1/2(d-1)(d-2) donde d>3, porque de lo contrario no hay ninguna esperanza para darse cuenta de X como un nonsingular curva en ℙ^2.

Hay

1) un complejo colector Y que es una cubierta espacio de X tal que X ≅ S/G donde G es la parte que cubre el grupo de Y sobre X

2) holomorphic funciones f₁, f₂, f₃ de S/G a ℂ∪∞

tales que z |--> [f₁,(z), f₂(z), f₃(z)] se da cuenta de X como una variedad proyectiva de la dimensión 1 en ℙ^2?

Me dicen que una buena opción para Y sería el plano hiperbólico, porque entonces el 4g-gon representación de un género g de la superficie de las baldosas del avión.

Answer 1

Para $X = \Delta/\Gamma$ una compacta superficie de Riemann de género $g>1$ un buen análogo de la Weierstrass $p$-función es la de Poincaré serie $f_a(z) = \sum_{\gamma \in \Gamma} \gamma^*(q_a)$ donde $q_a = dz^2/(z-a)$ es una diferencial cuadrática con un simple poste de $a \in \Delta$. Esta serie ofrece una meromorphic cuadrática diferencial en $X$ con un simple polo en cualquier punto deseado y no otras singularidades. Si $b$ es lo suficientemente cerca como para $a$ $f_b/f_a$ da una función de meromorphic en $X$ con un simple cero a $a$, proporcionando las coordenadas locales. Por compacidad, uno puede entonces elegir un número finito de $a_1,\ldots,a_n$ de manera tal que la correspondiente a $f_1,\ldots,f_n$ dar una incrustación de $X$ a $P^{n-1}$.

Answer 2

Creo que Hunter y Greg respuestas hacen que sea difícil ver el bosque por los árboles. Sea X un compacto de Riem. la superficie de género >= g. Sea Y la cobertura universal de X equipado con la compleja estructura tiraron de X. Como un complejo colector, Y es isomorfo a la mitad superior del plano, y la cubierta de transformaciones forman un subgrupo Gamma de PSL_2(R). Habrá personajes chi de Gamma para los que no son distintos de cero de las funciones f Y tal que f(gz) = chi(g) f(z). Para chi suficientemente amplio (no se define aquí), vamos a ser capaces de elegir las funciones (f_1, f_2, f_3) tales que z --> (f_1(z) : f_2(z) : f_3(z)) da una inmersión X --> P^2. Todo esto funciona en cualquier género.

El problema técnico es que este mapa es una inmersión, no una inyección, lo que significa que la imagen puede pasar a través de sí mismo. Uno puede decidir vivir con esto, o trabajar con mapas a P^3 en su lugar.

La mayoría de los libros que he visto no levante todo el camino a la universalización de la cobertura de X. en Cambio, toman el cubrimiento de X que corresponde al colector de un subgrupo de pi_1(X). Esto puede ser motivado en una particular forma agradable en términos del Jacobiano. Este es un complejo colector de la estructura topológica de un 2g dimensiones toro. Hay un mapa X --> J, de modo que el mapa pi_1(X) --> pi_1(J) es, precisamente, el mapa de pi_1(X) a su abelianization. La gente, a continuación, trabajar con la universalización de la cobertura de J, y la preimagen de X en su interior. Esto tiene tres ventajas: la universalización de la cobertura de J es C^g, no la mitad superior del plano; el grupo de la Cubierta de las transformaciones es Z^{2 g}, no es el grupo fundamental de una superficie, y la acción en la C^g es por traducciones, no de las transformaciones de Möbius. Las funciones que transforman por parte de los personajes, en este escenario, se llaman Theta funciones*, y están dados por explícita de la serie de Fourier.

*Esto es una pequeña mentira. Theta funciones de proceder de una determinada central de extensión del grupo de la Cubierta de transformaciones. Es cierto proporciones de la Teta de las funciones que va a transformar por personajes como el esbozado anteriormente. El P de la función en sí, por ejemplo, es una relación de las cuatro funciones Theta. En la mayor genero caso, en mi lectura es limitado, no he visto los nombres de estos ratios, sólo para las funciones Theta.

Answer 3

Tal vez mi post llevado a un malentendido. Yo no se especifica la dimensión del espacio proyectivo; de una superficie de alta género la inclusión es un principio en un proyectiva espacio de alta dimensión. Usted tendrá suficiente meromorphic funciones para darse cuenta de ello integrado nonsingular subvariedad. Esto se puede obtener tomando varias funciones racionales de dos meromorphic funciones análogas a la pe y pe'. Después de llegar en un proyectiva del espacio de baja dimensión, como otros han señalado, un problema de geometría algebraica. También, el meromorphic funciones hablo son meromorphic funciones en la superficie de Riemann; i. e. holomorphic asignaciones de la superficie dentro de la esfera de Riemann de una.k.una. el plano complejo extendido una.k.una. una dimensión compleja proyectiva del espacio.

Pero Shafarevich lo explica mucho mejor que yo.

La pregunta explícita de la incrustación, obviamente, depende de la superficie de Riemann en realidad es dado a usted en concreto. Si se administra por Fuchsian grupo que actúa sobre la unidad de disco, puede incrustar el uso de Poincaré de la serie. Estos son los análogos de la serie se utiliza para definir la Weierstrass pe-función.

Answer 4

El género g de una curva en P^2 es

g = 1/2(d-1)(d-2)

donde d es el grado del polinomio homogéneo que lo corta. Así que usted no puede tener una superficie de Riemann de género, digamos, 4, sentado en el interior de P^2.

(Esto es en Hartshorne Capítulo I. 7, aunque tienes que estar dispuesto a creer que el complejo de las superficies de Riemann "son" no-singular curvas proyectivas sobre C y la "aritmética de género" es "número de agujeros".)

Si usted se muda a P^3, gadgets existen (tiene holomorphic mapas de cobertura Universal ---> Superficie de Riemann ---> P^3). Pero ellos no van a ser meromorphic funciones más, puesto que P^2 es especial en el sentido de que "la función de meromorphic" = "mapa a P^2."

Answer 5

En general la respuesta a 2) va a ser que no ya que no todas las superficie de Riemann de género >1 incrusta en P^2 - el mejor que uno puede hacer en general es encontrar una curva birational con nodal singularidades obtenidos mediante la proyección de una incrustación en P^3.