Como Stephen Montgomery-Smith dice en los comentarios, este es el Lema 3.5 en Marcus-Spielman-Srivastava. Se de crédito a varias fuentes diferentes, de los cuales Dedieu (Teorema 2.1) es la primera y Cayó (Teorema 2') es, a mi juicio la más clara. Cayó también tiene la ventaja de estar disponible gratuitamente en internet.
Aquí es otra presentación de Cayó del argumento, que handwaves un par de "geométricamente obvio" detalles, pero parece bastante a mí.
Por simplicidad, suponga que $a$ $b$ no tienen raíces en común. Set $h(x) = \frac{b(x)}{b(x)-a(x)}$. Por lo $x$ es una raíz de $\lambda a(x) + (1-\lambda) b(x) =0$ si y sólo si $\lambda = h(x)$. Deje $\Gamma$ ser la gráfica de $h$ en la franja horizontal $\mathbb{R} \times [0,1]$. Por hipótesis, para cada $\lambda \in [0,1]$, el gráfico de $\Gamma$ cruza la línea de $\mathbb{R} \times \{ \lambda \}$ $n$ puntos. Deje que los $n$ puntos $r_1(\lambda)$, $r_2(\lambda)$, ..., $r_n(\lambda)$. Deje $I_k = \{ r_k(\lambda) : \lambda \in [0,1] \}$. En otras palabras, $I_k$ es el intervalo de tiempo bajo el arco de $\Gamma$$(0,r_k(0))$$(1, r_k(1))$.
Pretendemos que los intervalos $I_1$, $I_2$, ..., $I_n$ son disjuntas. Supongamos que al contrario que $x \in I_i \cap I_j$. A continuación, la línea vertical $\{ x \} \times \mathbb{R}$ cumple con $\Gamma$ dos veces, por lo $\Gamma$ viola la línea vertical de la prueba.
Para el cerrado de los intervalos de $I_j$ son disjuntas. Elija $n-1$ puntos $s_1$, $s_2$, ..., $s_{n-1}$ con $s_j$ separación de $I_j$$I_{j+1}$. Entonces el polinomio $\prod (x-s_j)$ entrelaza todos los polinomios $\lambda a(x) + (1-\lambda) b(x)$.
