¿Por qué es esta suma igual a la Integral Logarítmica?

Question

Yo estoy usando esta suma:

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k}\left((-1)^{k-1} (n-1) + \sum_{j=1}^{k-1}\frac{(-1)^{j+k-1}n (\log n)^j}{j!}\right)$$

Empíricamente, esto es precisamente igual a

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{(\log n)^k}{k! k}$$

que es el más significativo plazo en esta expansión de la logarítmica integral

$$\operatorname{li}(n) = \log \log n + \gamma + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\log n)^k}{k! k}$$

donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.

Puede alguien demostrar por qué mi suma es igual a la suma de los logarítmica integral?

Answer 1

Voy a empezar de la misma manera como Sasha, excepto que la primera vez que voy a reemplazar a $n$$\exp\,z$:

$$\frac1{k}\left(-1+\exp\,z\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(-z)^j}{j!}\right)$$

A partir de aquí, recordamos que las sumas parciales de la función exponencial de poseer la siguiente representación integral (véase aquí para una prueba):

$$\exp(-u)\sum_{j=0}^{k-1}\frac{u^j}{j!}=\frac1{(k-1)!}\int_u^\infty t^{k-1} \exp(-t)\mathrm dt$$

por lo tanto, hacer la sustitución:

$$-\frac1{k}+\frac1{k!}\int_{-z}^\infty t^{k-1} \exp(-t)\mathrm dt$$

Vamos a complicar un poco las cosas:

$$-\frac{(k-1)!}{k!}+\frac1{k!}\int_{-z}^\infty t^{k-1} \exp(-t)\mathrm dt$$

y reemplace $(k-1)!=\Gamma(k)$ con su representación integral:

$$\frac1{k!}\left(-\int_0^\infty t^{k-1} \exp(-t)\mathrm dt+\int_{-z}^\infty t^{k-1} \exp(-t)\mathrm dt\right)$$

que simplifica:

$$\frac1{k!}\int_{-z}^0 t^{k-1} \exp(-t)\mathrm dt$$

Ahora el tratamiento de la suma

$$\sum_{k=1}^\infty \frac1{k!}\int_{-z}^0 t^{k-1} \exp(-t)\mathrm dt$$

y de intercambio de totalización y de integración (justificación a la izquierda para el lector):

$$\int_{-z}^0\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{t^{k-1}}{k!}\right)\exp(-t)\mathrm dt$$

que se convierte en

$$\int_{-z}^0\left(\frac{\exp\,t-1}{t}\right)\exp(-t)\mathrm dt=\int_{-z}^0\frac{1-\exp(-t)}{t}\mathrm dt=-\int_z^0\frac{1-\exp\,t}{-t}\mathrm dt=\int_0^z\frac{\exp\,t-1}{t}\mathrm dt$$

y ya

$$\int_0^z\frac{\exp\,t-1}{t}\mathrm dt=\sum_{j=1}^\infty \frac{z^j}{j! j}$$

la demanda se demuestra.

Answer 2

Primero de todo, tenga en cuenta que el término que se añade a la interna de la suma puede ser absorbido por la suma de la siguiente manera:

$$ (-1)^{k-1} (n-1) + \sum_{j=1}^{k-1} (-1)^{j+k-1} n \frac{\log^j n}{j!} = (-1)^k \left( 1 - \sum_{j=0}^{k-1} (-1)^{j} n \frac{\log^j n}{j!} \right) $$ Ahora, escriba $1 = \sum_{j=0}^{\infty} (-1)^{j} n \frac{\log^j n}{j!}$. Por lo tanto la suma original se convierte en

$$ \mathcal{S} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \sum_{j=k}^{\infty} (-1)^{j} n \frac{\log^j n}{j!} $$ Ahora cambio el orden de la suma de $\sum_{k=1}^\infty \sum_{j=k}^\infty \to \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^{j}$: $$ \mathcal{S} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^{j} \frac{1}{k} (-1)^{j} n \frac{\log^j n}{j!} = n \sum_{j=1}^\infty (-1)^{j} H_j \frac{\log^j n}{j!} $$

No estoy seguro de que en el lugar cómo convertir manualmente esta en logarítmicas la función integral, pero Mathematica puede resolver esta suma en términos de LogIntegral[n]:

In[179]:= 
n Sum[(-1)^j HarmonicNumber[j] Log[n]^j/j!, {j, 1, Infinity}] == 
    Log[Log[n]] + EulerGamma - LogIntegral[n] // FullSimplify[#, n > 1] &

Out[179]= True