Sé que ciertas funciones no son integrables. Geométricamente la integración es encontrar el área bajo la curva de la gráfica de la función dada. Entonces, de otra manera ¿por qué no es posible encontrar el área bajo la curva en el caso de ciertas funciones?
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Βασίλης Μάρκος
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Bueno, bueno, bueno, en realidad esta pregunta puede profundizar mucho en las ideas elementales de integración o, en general, de hallar el área bajo una curva.
1: A la vieja usanza - El método del "agotamiento"
En la antigüedad, y especialmente durante la época en que vivieron matemáticos como Eudoxo y Arquímedes, la principal forma en que se podía calcular el área entre curvas no lineales era el Método de agotamiento . Examinaremos, en resumen, cómo funcionaría esto en el cálculo del área de un círculo.
Sea un círculo $\mathcal{C}$ de radio $R$ y que dos cuadrados, $A_1A_2A_3A_4$ (rojo) y $B_1B_2B_3B_4$ (azul) tal que $A_1A_2A_3A_4$ está inscrito en $\mathcal{C}$ y $B_1B_2B_3B_4$ se circunscribe a $\mathcal{C}$ . Entonces, tenemos la siguiente situación:
Ahora, el siguiente paso es encerrar el círculo en algunos polígonos canónicos "más estrechos". Una construcción fácil es construir los octógonos que se inducen a partir de los dos cuadrados $A_1A_2A_3A_4$ y $B_1B_2B_3B_4$ tal y como se representa en la siguiente figura:
Luego se puede avanzar un paso más para crear un deca-exágono (polígono canónico de 16 ángulos), etc. Está claro que el polígono rojo siempre subestima el área del círculo y el polígono azul siempre la sobreestima.
Ahora, es relativamente fácil, utilizando las fórmulas conocidas para el área de polígonos canónicos, demostrar que tanto el área roja como la azul convergen al área del círculo. Sin embargo, como en aquella época el cálculo no era algo "conocido" con el significado actual (los números se trataban siempre como objetos geométricos y no como nociones abstractas), utilizaron la siguiente forma del principio de Eudoxo:
Principio de Eudoxo: Dadas dos cantidades $A,B$ si, a partir de la primera cantidad $A$ restamos una cantidad $C$ que es mayor que la mitad de $A$ y, a continuación, del remanente ( $A-C$ en notación moderna) restamos una cantidad que es mayor que su mitad y continuamos así, entonces, después de un número finito de pasos, la cantidad remanente será menor que $B$ .
Así pues, en ese marco, bastaba con demostrar que cada construcción de un nuevo $2^n-$ polígono de lados era "cortar" más de la mitad del error - que se puede demostrar, pero tiene una prueba larga y agotadora y, por tanto, está fuera del espectro de esta respuesta. Después, la "convergencia" (éste es un término moderno; no se utilizaba entonces) estaba asegurada. Lo que faltaba era demostrar que esas dos áreas (azul y roja) eran ambas "convergentes" al área del círculo. Para ello (puesto que se desconocía el cálculo y, por tanto, los límites) se utilizaba un argumento -de nuevo agotador, en el caso general- de doble contradicción.
Es notable que, de la misma manera se podría encontrar el volumen de la esfera y varias otras formas 3D.
2: La vía Riemann-Darboux - Sumas superior e inferior
Se llama Integral de Riemann Sin embargo, para encontrar el fundamento geométrico muy sólido de las nociones de integral e integración debemos investigar las llamadas Sumas Superior e Inferior de Darboux.
Consideremos una función acotada $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ - La acotación es necesaria para la integración de Rieman; si no, ¿qué significado tendría el área bajo la curva? Entonces, dejemos que una partición $\mathcal{P_n}=\{a=x_0<x_1<\dots<x_n=b\}$ del intervalo $[a,b]$ y también que $m_k=\inf\limits_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)$ y $M_k=\sup_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)$ , $k=0,1,\dots,n-1$ . A continuación definimos el inferior, $L(f,\mathcal{P_n})$ y superior $U(f,\mathcal{P_n})$ , sumas de Darboux para esa partición y función de la siguiente manera: $$\begin{align*} L(f,\mathcal{P}_n)&=\sum_{k=0}^{n-1}m_k(x_{k+1}-x_k)\\ U(f,\mathcal{P}_n)&=\sum_{k=0}^{n-1}M_k(x_{k+1}-x_k) \end{align*}$$
Además, damos la siguiente definición:
Tabique más fino: Una partición $\mathcal{Q}$ se denomina más delgado que $\mathcal{P}$ i $$\mathcal{P}\subseteq \mathcal{Q}$$
Ahora, a medida que avanzamos a particiones más delgadas $\mathcal{P_k}$ con $k>n$ decimos que $f$ es integrable de Riemann si: $$\lim_{k\to\infty}U(f,\mathcal{P_k})=\lim_{k\to\infty}L(f,\mathcal{P_k})=I\in\mathbb{R}$$ para cada secuencia de particiones "decrecientes" (cada partición de la secuencia es más delgada que cada una de las anteriores).
Obsérvese ahora que, de este modo, la integración de Rieman es "sólo" una aplicación más generalizada del método de "agotamiento" que utilizaban los matemáticos antiguos. En lugar de polígonos canónicos, utilizamos los polígonos inducidos a partir de la partición de $f$ elegimos y estos polígonos se inscriben y circunscriben en cierto modo a esa curva. Además, las particiones más finas son, en cierto sentido, lo mismo que formar una canónica $n-$ a otro polígono canónico $m-$ polígono, con $m>n$ . Además, lo que buscamos, para poder decir que una función es integrable de Riemann, es que los dos límites de las secuencias de las estimaciones dadas por las sumas de Darboux converjan al mismo número, lo que también se buscaba en el Método de Agotamiento, a pesar de no demostrarse con cálculo actual sino con argumentos geométricos "anticuados" -aunque interesantes-.
Así que, para concluir, una función no es integrable de Riemann exactamente cuando no se puede aplicar el Método de Agotamiento a la curva que representa su gráfica.
Sin embargo, esto no se aplica a la integrabilidad de Lebesgue... (No creo que este fuera el caso que pedía el OP, sin embargo, puedo extenderlo a la integración de Lebesgue, si se solicita).
3: Apéndice - La integración como suma infinita no contable y el método heurístico de Arquímedes
En un "palimpsesto" ( ) - una escritura escrita en pergamino que ha sido rayada y vuelta a escribir en dirección vertical a la anterior - que fue encontrada a principios del siglo XX en un monasterio ortodoxo cercano a Constantinopla, tras un pequeño viaje "aventurero" y, finalmente, la debida investigación científica, se descubrió que, la escritura original era una carta que Arquímedes había escrito a Eratóstenes en la que, entre otras cosas, explicaba la forma en que podía encontrar los resultados que debía probar, sin embargo, señala que no considera que este método sea un método para probar sus resultados, sólo una forma de "tener una idea" de cuál es el objetivo.
En uno de sus ejemplos describe la forma de hallar el área de una parte parabólica - véase este artículo en wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes_Palimpsest - y en algún momento menciona que la razón por la que no puede considerar esto una prueba es la de utilizar una "suma de segmentos sobre un intervalo de números reales" - esto es en términos modernos, ¡no los utilizados por Arquímedes! Así pues, con respecto al marco histórico, Arquímedes estaba muy cerca de la noción de infinito, no contable sumatorio que damos a la integral de Riemann, hoy en día.
justryintohelp
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Creo que esto se debe más o menos a la paradoja de Banach-Tarski, que demuestra que una bola puede descomponerse en un número finito de conjuntos de puntos y volver a ensamblarse en dos bolas idénticas a la original. Esto significa que no podemos definir la medida (un concepto bastante relacionado con la integración) para cada conjunto de puntos.
