¿Cuándo es posible expresar una integral elíptica en términos de funciones elementales?

Question

Después de ver este pregunta reciente sobre cómo calcular la siguiente integral

$$ \int \frac{1 + x^2}{(1 - x^2) \sqrt{1 + x^4}} \, dx $$

y algunos de los comentarios que sugerían que era una integral elíptica, intenté leer un poco en el artículo de Wikipedia sobre integrales elípticas . Parece que la cuestión es que la mayoría de las integrales elípticas no pueden expresarse en términos de funciones elementales. El artículo de Wikipedia define una integral elíptica como una integral de la forma

$$\int R \left( x, \sqrt{ P(x) } \right ) \, dx$$

donde $R(x, y)$ es una función racional y $P(x)$ es un polinomio de grado $3$ o $4$ sin raíces repetidas.

Ahora bien, el artículo menciona en su sección introductoria que dos excepciones en las que las integrales elípticas pueden expresarse en términos de funciones elementales son cuando el polinomio $P(x)$ tiene raíces repetidas o cuando la función racional $R(x, y)$ no contiene poderes impar de $y$ .

En el ejemplo en cuestión tenemos $P(x) = 1 + x^4$ y

$$R(x, y) = \frac{1 + x^2}{(1 - x^2)y}$$

por lo que ciertamente no corresponde a las dos excepciones antes mencionadas. Por lo tanto, tengo un par de preguntas al respecto:

1) ¿Cuáles son las condiciones para que una integral elíptica (tal como se define en el artículo de la Wikipedia) sea expresable en términos de funciones elementales? Más concretamente, ¿son las dos condiciones citadas las únicas excepciones o hay otras que puedan explicar por qué la integral anterior es expresable en términos de funciones elementales?

2) Según la respuesta a mi primera pregunta, ¿por qué la "integral elíptica" anterior puede expresarse en términos de funciones elementales?

Nota: No estoy seguro pero supongo que hay que poner algunas condiciones a la función racional $R(x, y)$ para evitar casos triviales, pero no quiero especular.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Una consideración de Respuesta de Aryabhata a la pregunta vinculada muestra que existe un mapa de la curva elíptica $y^2 = P(x)$ a la cónica $v^2 = u^2 + 2$ dado por $$(x,y) \mapsto \left(x - \dfrac{1}{x}, \dfrac{y}{x}\right),$$ y el diferencial $$\dfrac{1+x^2}{(1-x^2)\sqrt{1 + x^4}} \,\mathrm dx$$ en la curva elíptica es el pull-back de la diferencial $$\dfrac{1}{u v}\,\mathrm du$$ en la cónica.

Dado que una cónica tiene género cero (es decir, puede ser parametrizada por una sola variable, utilizando un clásico " $t$ -sustitución"), la integral de una diferencial en una cónica siempre puede expresarse mediante funciones elementales. Por tanto, lo mismo ocurre de la integral de la diferencial original en la curva elíptica.

La respuesta a la pregunta general es la misma: si la diferencial en cuestión puede extraerse de un mapa a una curva racional (es decir, una curva de género cero), entonces la "integral elíptica" en cuestión puede integrarse de hecho mediante funciones elementales.

Por ejemplo, cualquier curva elíptica $y^2 = P(x)$ tiene un mapa hacia el $x$ -línea dada por $(x,y) \mapsto x$ . Por lo tanto, si la integral sólo implica funciones racionales de $x$ (que será el caso cuando $y$ parece que incluso los poderes, ya que siempre podemos sustituir $P(x)$ para $y^2$ ) entonces se puede calcular en términos elementales. Además, si $P(x)$ tiene raíces repetidas, entonces la curva $y^2 = P(x)$ es realmente racional (se puede parametrizar mediante una variación de la clásica $t$ -sustitución para cónicas), por lo que cualquier "integral elíptica" es en realidad elementalmente integrable.

P.D. He utilizado aquí cierta terminología geométrica ( pull-back , diferencial , curva elíptica , curva racional ) porque el punto de vista moderno sobre este material es a través de la geometría algebraica. Si algo de esto no te resulta familiar, deja un comentario y yo (u otra persona) podré explicarlo.

Añadido: Si tenemos una curva $C$ (que podría ser nuestra curva elíptica $y^2 = P(x)$ , o nuestra curva racional $v^2 = u^2 + 2$ o sólo el $x$ -línea, o ...) y si $\omega$ es un diferencial en $C$ entonces encontrar la integral indefinida de $\omega$ significa encontrar alguna función $f$ en $C$ tal que $\omega = df$ .

Ahora bien, si $\varphi: C' \to C$ es un mapa de curvas, entonces $\varphi^* \omega = \varphi^* d f = d (f\circ \varphi).$ Así que $f\circ \varphi$ es una integral indefinida integral de la diferencial de retroceso $\varphi^*\omega$ .

En particular, si $f$ es una función elemental de las coordenadas en $C$ , y $\varphi$ está dada por expresiones que son funciones elementales de las coordenadas, que el compuesto $f\circ \varphi$ vendrá dada de nuevo por funciones elementales de las coordenadas.

Esto es lo que ocurre en su ejemplo. Explícitamente, en nuestra curva $v^2 = u^2 + u,$ teníamos, por ejemplo, el diferencial $$\dfrac{1}{u v} \,\mathrm du = \frac{1}{2 u^2 v}\,\mathrm d (u^2 + 2) = \frac{1}{2(v^2-2)v}\,\mathrm d(v^2) = \dfrac{1}{v^2-2}\,\mathrm dv = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\mathrm d\log\bigl( \frac{v-\sqrt{2}}{v+\sqrt{2}}\bigr).$$ Ahora tirando de este diferencial a través de nuestro mapa $\varphi:(x,y)\mapsto \left(x-\dfrac{1}{x}, \dfrac{y}{x}\right)$ obtenemos $$\dfrac{1 + x^2}{(1-x^2)y}\,\mathrm dx = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\mathrm d\log\bigl(\frac{y-\sqrt{2}x}{y+\sqrt{2}x} \bigr).$$

Como muestra este ejemplo, tirando hacia atrás es sólo la terminología teórica para hacer una sustitución , al igual que un mapa de curvas es sólo una terminología teórica para un cambio de variables .

Si la memoria no me falla, el maravilloso libro de Miles Reid Geometría algebraica de grado discute algo de esto, y en particular da algo de la historia de cómo la teoría analítica de las integrales elípticas se convirtió en la teoría algebro-geométrica de las curvas elípticas. (Si no conoce este libro, no se deje engañar por el título: es una gran introducción al tema para cualquier persona de cualquier nivel, no sólo para estudiantes universitarios). Se puede encontrar una historia mucho más detallada en el libro de Dieudonné sobre la historia de la geometría algebraica, pero ese libro probablemente no sea muy legible a menos que ya se tenga cierto sentimiento por la geometría algebraica como materia.

Answer 2

(Esto iba a ser otro comentario más, pero se hizo demasiado grande para la caja de comentarios).

Finalmente tuve la oportunidad de ver el venerable Manual de integrales elípticas para ingenieros y científicos por Byrd y Friedman y allí hay una breve discusión sobre las integrales pseudoelípticas, que citaré en parte:

Uno se encuentra frecuentemente con integrales que tienen toda la apariencia de ser elípticas pero que, en última instancia, pueden expresarse únicamente en términos de funciones elementales. Estas ... se llaman integrales pseudoelípticas y siempre se puede evaluar como

$$v_0(t)+\sum_{j=1}^m b_j\ln\;v_j(t)$$

donde el $b_j$ son constantes y el $v_j(t)$ son funciones algebraicas. Un Sin embargo, no hay que preocuparse demasiado al principio de si su integral en cuestión es genuinamente elíptica, porque las sustituciones dadas en este libro para la reducción y evaluación de integrales elípticas conducirán a los resultados correctos (sin trabajo adicional) aunque la integral resulte ser elemental. Damos varios ejemplos importantes ejemplos.

...

...la integral más general

$$\int\frac{t\cdot R(t^2)}{\sqrt{at^4+bt^2+c}}\mathrm dt$$

( $R(u)$ una función racional en $u$ ) ... se reduce a integrales que involucran a impar potencias de funciones elípticas de Jacobi, por lo que siempre pueden ser en última instancia evaluarse en términos de funciones elementales.

Un caso general de una integral pseudoelíptica menos evidente es

$$\int \frac{R(t^2)}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\mathrm dt=\int \frac{R(\sin^2\theta)}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\mathrm d\theta=\int R(\mathrm{sn}^2(u,k))\mathrm du$$

cuando... para todos los valores de $t$ cualquiera de las siguientes relaciones se mantiene:

$$\begin{cases}R(t^2)+R\left(\frac1{k^2 t^2}\right)&=0\\R(t^2)+R\left(\frac{1-k^2 t^2}{k^2(1-t^2)}\right)&=0\\R(t^2)+R\left(\frac{1-t^2}{1-k^2 t^2}\right)&=0\end{cases}$$

...

(énfasis mío)

Dado que se trata de un manual destinado a los no especialistas, no hay mucha discusión sobre las condiciones en las que una "integral elíptica" es de hecho pseudoelíptica; me imagino que los libros de texto avanzados sobre las integrales elípticas discutirían el asunto, pero no he podido encontrar ninguno.

Answer 3

Puede que llegue a esto demasiado tarde para que le interese a alguien, pero permítanme basarme en la respuesta de Matt E. Supongamos que tenemos una curva elíptica $E$ dado como $y^2 = P(x)$ y una forma diferencial $\eta = f(x, \sqrt{P(x)}) dx/\sqrt{P(x)}$ en $E$ . Nos gustaría saber si existe o no un mapa $\phi: \eta \to \mathbb{P}^1$ y una forma diferencial $\omega$ en $\mathbb{P}^1$ , de tal manera que $\eta = \phi^* \omega$ . Voy a explicar cómo resolver esto, utilizando el problema actual como ejemplo.

Recordemos que $dx/\sqrt{P(x)}$ no tiene ceros ni polos en $E$ . Así que los polos de $\eta$ son precisamente los de $f(x, \sqrt{P(x)}$ . En nuestro caso, $f$ tiene polos en los puntos donde $1-x^2 =0$ , es decir, los cuatro puntos $(x,y) = (\pm 1, \pm \sqrt{2})$ . Si $\eta = \phi^* \omega$ entonces los polos de $\eta$ se producirá precisamente en las preimágenes de los polos de $\omega$ . Además, si $\phi(a) = b$ con $\phi$ ramificado de orden $e$ en $a$ entonces el residuo de $\phi^* \omega$ en $a$ va a ser $e$ veces el residuo de $\omega$ en $b$ . Así que podemos adivinar qué polos de $\eta$ provienen del mismo polo de $\omega$ viendo cuáles tienen residuos que están en cocientes racionales positivos.

En este caso, el residuo es $1/ \sqrt{2}$ en $(1, \sqrt{2})$ y $(-1, - \sqrt{2})$ y es $- 1/ \sqrt{2}$ en $(1, -\sqrt{2})$ y $(1, - \sqrt{2})$ . Así que la suposición más obvia es que $\phi(1, \sqrt{2}) = \phi(-1, -\sqrt{2})$ y $\phi(-1, \sqrt{2}) = \phi(-1, \sqrt{2})$ con ramificaciones de igual orden en estos puntos. Si fuera a escribir un algoritmo cuidadoso, tendría que considerar otras posibilidades, pero me limitaré a probar esta posibilidad.

Entonces, nos gustaría saber si existe o no una función racional $\phi$ en $E$ de grado $2$ con $\phi(1, \sqrt{2}) = \phi(-1, -\sqrt{2})$ y $\phi(-1, \sqrt{2}) = \phi(-1, \sqrt{2})$ y con una ramificación de cierto orden $e$ en todos estos puntos? En otras palabras, ¿se $e (1, \sqrt{2}) + e (-1, -\sqrt{2}) = e (-1, \sqrt{2}) + e (-1, \sqrt{2})$ en la ley de grupos de $E$ ? Tenga en cuenta que si sólo elige $4$ puntos aleatorios en una curva elíptica, no habría relaciones entre ellos en la ley de grupo, lo que es coherente con el hecho de que no suele haber soluciones elementales a las integrales elípticas.

En este caso, ¡ganamos! Observe que la línea $y= \sqrt{2} x$ es tangente a $E$ en los puntos $(1, \sqrt{2})$ y $(-1, -\sqrt{2})$ . De la misma manera, $y = -\sqrt{2} x$ es tangente a $E$ en los otros dos puntos. Así que $2 \cdot (1, \sqrt{2}) + 2 \cdot (-1, -\sqrt{2}) = 2 \cdot (-1, \sqrt{2}) + 2 \cdot (-1, \sqrt{2}).$

Explícitamente, el mapa $\phi$ debe ser $x \mapsto (\sqrt{x^4+1} - \sqrt{2} \cdot x)/(\sqrt{x^4+1} + \sqrt{2} \cdot x)$ . Sabemos que $\omega$ debe ser una forma que tenga polos de residuo $1/2 \sqrt{2}$ en $0$ y $\infty$ , por lo que debería ser $du/2 \sqrt{2} u$ .

Pídele a tu sistema de álgebra informática favorito que se retire $du/2 \sqrt{2} u$ a lo largo de $x \mapsto (\sqrt{x^4+1} - \sqrt{2} \cdot x)/(\sqrt{x^4+1} + \sqrt{2} \cdot x)$ . Se quejará mucho pero, si le haces seguir expandiendo y factorizando, obtendrás el integrando original.

Answer 4

Creo que la monografía de Hardy La integración de funciones de una sola variable discute esto pero no estoy seguro.