Hay una tangencial de la superficie de la integral?

Question

En $\mathbb{R}^2$, tenemos dos diferentes tipos de integrales de línea, la tangencial de la integral de línea $$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf r$$ y la normal de la integral de línea $$\int_C \mathbf{F}\cdot \mathbf n \,ds.$$

Para dar una motivación, de estas dos integrales son muy útiles para la comprensión de la Divergencia y teorema de Stoke teorema.

Deje $\mathbf {F} = P \mathbf i + Q\mathbf j$. El Teorema de la Divergencia dice $$\iint_D \text{div}(\mathbf F)\,dx\,dy = \int_C \mathbf{F}\cdot \mathbf n \,ds.$$ Esto le da $$\iint_D (P_x + Q_y) \,dx\,dy=\int_C \mathbf{F}\cdot (-dy, dx) = \int_C P\,dy - Q\,dx.$$ Stoke es el teorema de $$\iint_D \text{curl}(\mathbf F)\cdot \mathbf k \,dx\,dy = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf r$$ y esto da $$\iint_D (P_y - Q_x) \,dx\,dy=\int_C \mathbf{F}\cdot (dx, dy) = \int_C P\,dx + Q\,dy.$$

Verde del teorema puede ser derivado de los dos anteriores teoremas.

Sin embargo, por toda la superficie de la integral, sólo he visto la normal de la superficie de la integral definida por $$\iint_D \mathbf F\cdot \mathbf n\, dS$$ hay un concepto similar que está cerca de la tangencial de la integral de línea $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf r$?

Answer 1

Me gustaría decir en primer lugar que yo no he visto ni idea de este concepto antes, y la definición que proporcionan aquí tiene sus defectos. Estoy publicando esto no como una respuesta definitiva, sino como una fundación para alguien que le gustaría desarrollar más a fondo.

Dada una parametrización de la superficie de $T:(s,t)\mapsto(x(s,t),y(s,t),z(s,t))$, no existe un único vector tangente $\mathbf v$ en la superficie, a diferencia de la singularidad de una unidad vector normal a la orientación.

Digamos que la superficie está definida por $T(s,t) = (x(s,t), y(s,t), z(s,t))$. A continuación, $$ DT(s,t) = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial s}(s,t) & \frac{\partial x}{\partial t}(s,t) \\ \frac{\partial y}{\partial s}(s,t) & \frac{\partial y}{\partial t}(s,t) \\ \frac{\partial z}{\partial s}(s,t) & \frac{\partial z}{\partial t}(s,t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vert&\vert \\ T_s(s,t) & T_t(s,t) \\ \vert& \vert \end{pmatrix}. $$ Los vectores $T_s(s,t),T_t(s,t)$ base $B$ para el plano normal a $T$ en el punto de $(x(s,t),y(s,t),z(s,t)).$ Para un vector $\mathbf v_B$$\operatorname{span}B$, se puede expresar en términos de la norma de base a través de $\mathbf v = DT(s,t)\mathbf v_B.$

Una manera de definir esta integral, $I_{\mathbf v_B}$, es elegir una unidad de vector tangente $\mathbf v_B = (c_1,c_2)$ de dos componentes $c_1$ $c_2$ que vamos a estar de acuerdo a la revisión con el fin de especificar una combinación de los vectores $T_s$ $T_t$ (que no cambian con respecto a cada uno de los otros), y la integración de $\mathbf F\cdot DT(s,t)\mathbf v_B$ con respecto al $\mathrm d(s,t)$.

Definir $I_{\mathbf v_B}$, la integral de un campo vectorial $\mathbf F$ en la dirección de $\mathbf v_B$, tangencial a la superficie de la $T$, los parámetros que se toman de un dominio abierto $U$

$$ I_{\mathbf v_B} = \iint_U\mathbf F(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\cdot D(s,t)\mathbf v_B\,\mathrm d(s,t). $$ A continuación, $I_{\mathbf v_B}$ tiene la interpretación geométrica de la red "flujo" de $\mathbf F$ más de la superficie de la $T$ en una dirección particular, tangente a la superficie.

El principal problema con esta definición (suponiendo que yo no me he puesto tonto álgebra/cálculo de errores) es que en lugar de especificar una dirección particular para integrar en términos de la norma base, esta definición requiere que elegir alguna combinación fija de la superficie tangente vectores $T_s$$T_t$, lo que hace que sea difícil ver en qué dirección nos estamos integrando a lo largo, creo. Doy la bienvenida a los pensamientos de los demás y sugerencias de cómo mejorar lo que tengo aquí.

Answer 2

Desde dimensional punto de vista, en una superficie 3D, no es en 2D $dS$, y si $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS$ tiene sentido, porque la $\mathbf{F}$ es $\text{something}/m^{\,2} $ , $\mathbf{F} \cdot \mathbf{t}\,dS$ tiene sentido.
Por supuesto, en una superficie que tiene dos independientes de los vectores de tangentes. Un solo uno va a indicar una dirección determinada y la correspondiente $\iint\limits_{\text{surface}} {\mathbf{F} \cdot \mathbf{t}\,dS}$ integral a través de una estrecha banda a lo largo de una ruta de acceso en la superficie.

Por ejemplo, para un cuerpo en movimiento en un fluido viscoso podemos definir $\mathbf{F}$ como el campo de la fuerza por unidad de área ejercida por el fluido sobre el cuerpo.
A continuación, $\iint\limits_{\text{surface}} {\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS}$ le dará la resultante de la presión normal, mientras que $\iint\limits_{\text{surface}} {\mathbf{F} \cdot \mathbf{t}_\mathbf{x} \,dS},\;\iint\limits_{\text{surface}} {\mathbf{F} \cdot \mathbf{t}_\mathbf{y} \,dS}$ le dará la resultante de la cizalla de presión, por ejemplo en el $x$ $y$ dirección.

Answer 3

$\newcommand{\Del}{\nabla}\newcommand{\Vec}[1]{\mathbf{#1}}\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\dd}{\partial}\newcommand{\Brak}[1]{\left\langle #1\right\rangle}$Para campos vectoriales $\Vec{F} = P\, \Vec{i} + Q\, \Vec{j}$ en el avión, hay una estructura compleja, que se define por $$ J(\Vec{F}) = -Q\, \Vec{i} + P\, \Vec{j}. \etiqueta{1} $$

Si $\Vec{n}$ es hacia el exterior, que apunta a la unidad de campo normal a lo largo de la frontera de un avión de la región de $\dd D$, $J(\Vec{n}) = \Vec{t}$ es una unidad de la tangente de campo orientado de manera apropiada para el Verde del teorema.

Si $\Vec{F}$ es continuamente diferenciable campo de vectores en $D$, luego $$ \Del \times J(\Vec{F}) = \frac{\dd P}{\dd x} + \frac{\dd Q}{\dd y} = \Del \cdot \Vec{F}. \etiqueta{2} $$ La ecuación (2) y el hecho de que $$ \Brak{\Vec{F}, \Vec{n}} = \Brak{J(\Vec{F}), J(\Vec{n})} = \Brak{J(\Vec{F}), \Vec{t}} $$ cuenta de la correspondencia entre el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia en el plano.

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Fatal inconvenientes se producen para las superficies en $\Reals^{3}$:

1. No hay ningún operador sobre una superficie lisa en $\Reals^{3}$ asignación de vectores normales a los vectores de tangentes y viceversa. Como ambos G Cab y Ortiz nota, una superficie lisa en $\Reals^{3}$ tiene dimensión dos , pero codimension uno. Cualquier campo $J$ de los operadores lineales no puede ser un isomorfismo entre la normal y tangente de los espacios.

2. No podría existir (para una superficie en particular) un campo llano $J$ de los operadores de envío de una unidad de campo normal para un "distinguido" de la unidad de la tangente de campo, pero ningún operador de campo existe una superficie general: la Aplicación de ese $J$ a la parte exterior de la unidad de campo normal de una esfera, por ejemplo, daría un continuo, en ninguna parte-desaparición de la tangente de campo en una esfera, la cual no existe.

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En caso de que sea de interés: La "correcta" marco para el teorema de Stokes es el cálculo exterior de formas diferenciales. Vagamente, hay "un teorema para cada dimensión". En el avión, el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia son (desde esta perspectiva) el mismo teorema aplicado a dos diferentes diferencial de uno-formas: $P\, dx + Q\, dy$, e $-Q\, dx + P\, dy$.

El índice de subida y bajada de los operadores asociados a la métrica Euclidiana en $\Reals^{n}$ mapa de campos vectoriales a diferencia de la uno-formas (asociando, por ejemplo, $P\, \Vec{i} + Q\, \Vec{j}$$P\, dx + Q\, dy$). Esta identificación permite pasar entre el vector y de forma diferenciada las versiones del teorema de Stokes en el plano. Una sola forma, sin embargo, es un adecuado integrando sólo en una curva.

Para pasar entre el vector y de forma diferenciada las versiones del teorema de Stokes sobre una superficie en $\Reals^{3}$, uno se identifica $$ \Vec{i} \leftrightarrow dy \wedge dz,\qquad \Vec{j} \leftrightarrow dz \wedge dx,\qquad \Vec{k} \leftrightarrow dx \wedge dy. $$ En lenguaje elaborado, este es el índice de reducción seguido por la estrella de Hodge-operador.