Cálculo de la integral de Lebesgue de $\frac{1}{1+x^2}$

Question

Me piden que demuestre que $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ es integrable por Lebesgue sobre la recta real y que su integral es $\pi$ .

Puedo acotar esta función por la función medible $\phi=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+n^2}\chi_{I_n}$ donde $I_n = (n-1,n]\cup [n,n+1)$ y $\chi$ significa función característica. Esta función $\phi$ puede escribirse como el límite de su secuencia creciente de sumas parciales, por lo que sé que su integral es $2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+n^2}$ que converge. Esto asegura que la integral de $f$ está acotado, y por tanto $f$ es integrable en Lebesgue.

Estoy un poco atascado en cómo mostrar que $\int f$ es $\pi$ sin embargo. Sospecho que mi intención es escribir $\int f$ como un límite de serie como el anterior. Cortando esas funciones características cada vez más finamente, puedo expresar la integral de $f$ como $$\lim_{k\to \infty} \frac{2}{k} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1+(n/k)^2}$$ pero no sé en absoluto cómo evaluar ese límite (aunque aparentemente se evalúa a $\pi$ ).

Así que, supongo que mi pregunta es si esta es una buena manera de hacerlo (el punto general es usar la teoría de la medida de Lebesgue y la integración de Lebesgue), y si este último límite que he escrito es de alguna manera fácil de ver que converge a $\pi$ ? ¿O debo intentar expresar la función como límite de otras funciones?

Answer 1

Esto no responde realmente a la pregunta, pero, si todavía está interesado en evaluar

$\displaystyle\lim_{k\to\infty} 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{k}{k^2+n^2},$

Creo que este método podría funcionar.

Elija $t>0$ y considerar la serie de Fourier $\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{inx}$ de $e^{tx}$ , donde

$c_n=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{(t-in)x}\,dx=\frac{(e^{2\pi t}-1)}{2\pi(t-in)}.$

El Teorema de Parseval da

$\displaystyle\frac{e^{4\pi t}-1}{4\pi t}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{2tx}\,dx=\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{(e^{2\pi t}-1)^2}{4\pi^2(t^2+n^2)}=\frac{(e^{2\pi t}-1)^2}{4\pi^2}\left(\frac{1}{t^2}+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{t^2+n^2}\right).$

Si no me equivoco arriba,

$\displaystyle\pi\frac{(e^{4\pi t}-1)}{(e^{2\pi t}-1)^2}-\frac{1}{t}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t}{t^2+n^2}.$

Ahora dejemos que $t\to\infty$ , se obtiene $\pi$ .

Answer 2

No sé si esto es lo que pretenden, pero he aquí algunas observaciones para empezar:

(1) En un intervalo finito, las funciones continuas que son integrables de Lebesgue son integrables de Riemann, y las dos integrales coinciden. Por lo tanto, se puede calcular realmente $\int_a^b \frac{dx}{1+x^2}$ con el teorema fundamental del cálculo.

(2) Si $\int_X \left| f(x) \right| dx<\infty$ entonces la convergencia dominada permite decir que $\int_X f dx= \lim \int_X f\chi_I dx=\lim \int_I f dx$ donde el límite es sobre alguna colección creciente de subconjuntos (intervalos $I$ ) que agotan su espacio.

Estas dos cosas juntas te permiten resolver el problema esencialmente como lo harías en una clase de cálculo normal.

Si hay alguna manera particularmente inteligente y elemental (pero completamente ad hoc) de ver esta integral sin el teorema fundamental del cálculo o el análisis complejo, no la conozco.

Answer 3

La integral de Lebesgue sobre la recta y la integral de Riemann coinciden cuando las partes positiva y negativa de la función son integrables. A saber, supongamos que $f$ es una función medible. Definir $f^+(x) = f(x)$ si $f(x)\ge 0$ . y 0 en caso contrario. Asimismo, definimos $f^-(x) = -f(x)$ si $f(x) \lt 0$ y 0 en caso contrario. Entonces sabemos que $f = f^+ - f^-$ y $|f| = f^+ + f^-$ .

La integral de Lebesgue $$\int_{\infty}^\infty f(x)\, dx$$ para una función medible $f$ existe siempre que al menos uno de $\int f^-(x)\, dx$ o $\int f^+(x)\, dx$ es finito. En este caso tenemos $$\int_{\infty}^\infty f(x)\, dx = \int_{\infty}^\infty f^+(x)\, dx - \int_{\infty}^\infty f^-(x)\, dx.$$
Debemos considerar esta diferencia como una diferencia entre reales extendidos; tiene sentido si $f$ es integrable.

El quid de la diferencia surge para una integral como $$\int_0^\infty {\sin(x)\over x}\, dx.$$
Esta integral de Riemann se define como $$\lim_{T\to\infty} \int_0^T {\sin(x)\over x}\, dx.$$ y converge en este sentido a $\pi/2$ .

Aquí permitimos que se produzca una cancelación "injustificada". Ambos $\int \sin^+(x)/x\, dx$ y $\int \sin^-(x)/x\, dx$ son infinitas, por lo que la integral de Lebesgue no existe.

Una función acotada en un intervalo acotado es integrable de Riemann si es continua en casi todas partes en la medida de Lebesgue (cf. Royden's Real Analysis).
El problema viene de la cancelación, no de la irregularidad del integrando. La integración de Lebesgue, intrínsecamente, exige una suavidad mínima a sus integrados. Estos pueden ser discontinuos en todas partes.

Answer 4

Creo que la forma tradicional de resolver este problema es establecer $x=tan(\theta)$ y usar eso $1+tan^2(\theta) = sec^2(\theta)$ , $dx = sec^2(\theta)d\theta$ .