Cómo probar esto $ab+bc+cd\le\dfrac{5}{4}$

Question

Deje $a,b,c,d\in \Bbb R$ y $a,b,c,d>-1,a+b+c+d=0$ demostrar que $$ab+bc+cd\le\dfrac{5}{4}$$

Tengo esta solución

si $b\le c$ entonces $$ab+bc+cd=a(b-c)-c^2\le -(b-c)-c^2=-(c-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}-b\le\dfrac{1}{4}-b\le \dfrac{5}{4}$$ y luego $b>c$ Creo que esta igualdad tiene otros buenos métodos. Gracias.

Answer 1

Primero reescribimos $ab+bc+cd= (a+c)(b+d) - ad = -(a+c)^2-ad$ .

Esta expresión sólo puede ser positiva si $a$ o $d$ es negativo. Así wlog elegimos $d<0$ y $a>0$ . Ahora tenemos $-(a+c)^2-ad <a-(a+c)^2$ . Si $a\leq1$ entonces esta expresión es $\leq1$ también, por lo que wlog suponemos $a>1$ . En este caso $a-(a+c)^2 < a-(a-1)^2 = -a^2+3a-1 = -\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\leq \frac{5}{4}$ .