La fricción término en la ecuación de Navier-Stokes se supone que la viscosidad de los coeficientes son los mismos para las direcciones longitudinal y transversal. Esto no parece intuitivo, porque el primero es esencialmente un bulk modulus mientras que el segundo no implica ningún tipo de compresión del fluido. Cómo es el supuesto justificado?
Respuesta
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En realidad, hay dos diferentes coeficientes de viscosidad. Usted puede ver esto desde el tensor de tensiones $$ \sigma_{ij} = -p_0 \delta_{ij} + \eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \frac{2}{3} \delta_{ij} \frac{\partial v_k}{\partial x_k} \right) + \zeta \delta_{ij} \frac{\partial v_k}{\partial x_k} $$ el que tiene los dos coeficientes de viscosidad $\eta$ $\zeta$ (ver Landau Y Lifshitz, Mecánica de Fluidos, por ejemplo). La presión de $p_0$ está dado por la ecuación termodinámica de estado, pero esta no es toda la presión de $p$. Este último está dado por la media de la tensión normal $$ p = - \frac{1}{3} \sigma_{ii} = p_0 - \zeta \frac{\partial v_k}{\partial x_k} $$ de modo que el tensor de tensiones es $$ \sigma_{ij} = -p \delta_{ij} + \eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \frac{2}{3} \delta_{ij} \frac{\partial v_k}{\partial x_k} \right) .$$
Es por eso que a veces no vemos el coeficiente de $\zeta$ (a menudo llamado segundo viscosidad) en la ecuación de Navier-Stokes. Está oculto en la presión, pero está ahí.
