Número imaginario en la Lógica de

Question

La ecuación de $x^2 = -1$ dijo una vez que no tengo la solución. A continuación, el número de $i$ fue descubierto (o inventado?) y nuestro sistema de número de enriquecerse. En particular, en esta nueva maravilloso mundo de los números complejos, podemos demostrar el teorema fundamental del álgebra, a consecuencia de lo cual es que cada polinomio es solucionable en el complejo de dominio.

En una vena similar, la lógica de la declaración de $P = \lnot P$ no tiene solución en el conjunto de $\{True, False\}$. Esta es la conocida paradoja del mentiroso, y ha aparecido en diversas formas a lo largo de la lógica por ejemplo, de la paradoja de Russel, teorema de la incompletitud de Gödel.

Ahora dicen que inventar un nuevo valor lógico $iTrue$, un imaginario si te gusta, que se define como la solución de la ecuación de $P = \lnot P$. Nuestras propuestas sería entonces gama de más de $\{True, False, iTrue\}$.

Mi Pregunta: ¿Podría este nuevo sistema, o uno como este, nos libre de tales paradójico, sin solución lógica declaraciones en una forma análoga a la forma en que los números complejos nos liberó de irresoluble polinomios?

Mis Pensamientos: yo soy escéptico de que el sistema anterior. Yo creo que puede ayudarnos a "resolver" algunas paradojas, pero no todos. Además no es obvio lo que estas soluciones podría significar. Por otro lado, sería encantadora si la analogía con los números complejos efectivamente trabajadas en un más riguroso en igualdad de condiciones.

Answer 1

Existe una vasta literatura sobre muchos de los valores de la lógica. Lukasiewicz original 3-valores de la lógica es quizás el más simple de tales lógica y el exceso de valor de verdad $P$ satisface su fórmula $P \iff \lnot P$. Lukasiewicz desarrollado esto en lo que ahora se denomina Lukasiewicz lógicas que han sido intensamente estudiados y generalizada a través de los años. Una de estas generalizaciones es el tema de la lógica difusa, que tiene aplicaciones prácticas, por ejemplo, para modelar situaciones donde el conocimiento es imperfecto.

Ver http://plato.stanford.edu/entries/lukasiewicz/ para obtener más información acerca de Lukasiewicz del trabajo y http://plato.stanford.edu/entries/logic-manyvalued/ una encuesta de muchos de los valores de la lógica.

Answer 2

Como Rob Arthan dice, existe una vasta literatura sobre este tema, sólo algunos de los que en la aplicación de las paradojas.

Como una solución a las paradojas como la del mentiroso, sin embargo, la introducción de un tercer valor de verdad cumple con una dificultad inmediata, el llamado "fortalecido"mentiroso:

This sentence is not true.