Complemento de $c_{0}$ $\ell^{\infty}$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $c_{0}$ no puede ser complementado en $\ell^{\infty}$? Complemento en el siguiente sentido

$$c_{0}+V = \ell^{\infty}$$

Y las proyecciones son continuas.

Answer 1

Esto se suele llamar Phillips del lexema y se probó en 7.5 en la página 539 de Phillips, En transformaciones lineales, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 48 (1940), 516-541 (también fue descubierta por Sobczyk alrededor de la misma época).

Un poco diferente a prueba de fue dado por Whitley en la Proyección de $m$ a $c_0$, La American Mathematical Monthly Vol. 73 (3) (Mar., 1966), pp 285-286. La prueba que allí se indican es la siguiente (estoy siguiendo la exposición de Albiac–Kalton, Temas en espacio de Banach teoría, pp 45f con algunas modificaciones de menor importancia):

1. Deje $S$ ser un conjunto infinito contable. A continuación, hay un sinnúmero de "casi la desunión de la familia" de los infinitos subconjuntos de a $S$: más precisamente, hay una familia $\{A_i\}_{i \in I}$ de los subconjuntos de a $S$ tal que $\# I = \# \mathbb{R}$, $\# A_i = \# \mathbb{N}$ todos los $i$ y la intersección $A_i \cap A_j$ es finito siempre $i \neq j$.

   Identificar las $S$ con los números racionales en $[0,1]$ y deje $I = [0,1] \smallsetminus S$. Para cada una de las $i \in I$ elegir una secuencia $a^{(i)}_n \xrightarrow{n\to\infty} i$ $S$ y establezca $A_i = \{a^{(i)}_{n}\,:\,n \in \mathbb{N}\}$ — un conjunto infinito porque $i$ es irracional. A continuación, $\# I = \# \mathbb{R}$ $A_i \cap A_j$ es finito siempre $i \neq j$, como se desee.

2. Deje $P: \ell^\infty \to \ell^{\infty}$ ser un operador tal que $P(x) = 0$ todos los $x \in c_0$. Entonces existe un subconjunto infinito $A$ $\mathbb{N}$ tal que $P(x) = 0$ todos los $x$ apoyado en $A$.

   Para ver esto, considere la posibilidad de una familia $\{A_i\}_{i \in I}$ de los casi subconjuntos disjuntos de a $\mathbb{N}$ como en el 1. Supongamos que para cada una de las $i \in I$ podemos encontrar $x_i \in \ell^\infty$ apoyado en $A_i$ tal que $P(x_i) \neq 0$, en particular,$x_i \notin c_0$. La normalización de $x_i$, podemos suponer que la $\|x_i\|=1$ todos los $i \in I$.

   Desde $I$ es incontable debe ser $n \in \mathbb{N}$ tal que $I_n = \{i \in I\,:\,(Px_i)(n) \neq 0\}$ es incontable. Desde $I_n$ es incontable, no debe ser $k$ tal que $I_{n,k} = \{i \in I\,:\,|(Px_i)(n)| \geq 1/k\}$ es incontable.

   Ahora fix $n$ $k$ tal que $I_{n,k}$ es incontable. Deje $J \subset I_{n,k}$ ser finito, y considerar la posibilidad de $y = \sum_{j \in J} \operatorname{sign}{[(Px_j)(n)]} \cdot x_j$. Tenga en cuenta que $$ (Py)(n) = \sum_{j \J} \operatorname{signo}{[(Px_j)(n)]}\cdot (Px_j)(n) \geq \frac{\# J}{k} $$ por nuestra elección de $y$. Desde $A_i \cap A_j$ es finito para $i \neq j$, podemos escribir $y = f + z$ donde $f$ ha finito de apoyo y $\|z\| \leq 1$. Por lo tanto $P(y) = P(f) + P(z) = P(z)$ por las hipótesis de $P$ y, por tanto,$\|P(y)\| \leq \|P\| \|z\| \leq \|P\|$. Este rendimientos $$\# J \leq \|P\| k$$ de ahí el absurdo de que $I_{n,k}$ debe ser finito.

   De ello se deduce que debe haber un conjunto $A = A_i$ tal que $P(x) = 0$ de todas las secuencias apoyado en $A$. Ya que todos los conjuntos de $A_i$ son infinitas, $A$ es infinito y hemos terminado.

3. El subespacio $c_0$ $\ell^\infty$ no se complementan.

   Si $c_0$ fueron complementados en $\ell^\infty$, habrá una proyección continua $Q: \ell^\infty \to \ell^\infty$ con rango de $c_0$. La aplicación de 2. con $P = 1-Q$ nos íbamos a encontrar un conjunto infinito $A$ tal que $(1-Q)(x) = 0$ de todas las secuencias apoyado en $A$. Pero esto significa que $Q(x) = x$ de todas las secuencias apoyado en $A$. Esto es absurdo, ya $A$ es infinito; no todos los delimitada secuencias apoyado en $A$ pertenecen a $c_0$.

Answer 2

Aquí está mi prueba. La topología débil en el espacio $l^\infty$ es realcompact. La topología débil en el espacio $l^\infty/c_0$ no es realcompact. Por lo tanto, $l^\infty/c_0$ no es isomorfo a un subespacio cerrado de $l^\infty$.

De referencia para la "débil realcompact" material:
Corson, H. H. El débil topología de un espacio de Banach. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 101 1961 1-15.
Edgar, G. A. Mensurabilidad en un espacio de Banach. II. Indiana Univ. De matemáticas. J. 28 (1979), no. 4, 559-579.

Me mostró esto a W. B. Johnson por una vez, pensó por un minuto o así, y llegó a la más convencional de la prueba.