¿Por qué es $|Y^{\emptyset}|=1$ pero $|\emptyset^Y|=0$ donde $Y\neq \emptyset$

Question

Tengo una pregunta sobre el conjunto de funciones de un conjunto a otro conjunto. Me pregunto sobre los casos degenerados. Supongamos que $X^Y$ denota el conjunto de funciones de un conjunto $Y$ a un conjunto $X$ ¿Por qué? $|Y^{\emptyset}|=1$ pero $|\emptyset^Y|=0$ donde $Y\neq \emptyset$ ?

Answer 1

La definición de $A^B$ es "el conjunto de todas las funciones con dominio $B$ y codominio $A$ ".

Una función $f$ de $B$ a $A$ es un conjunto de pares ordenados tal que:

1. Si $(x,y)\in f$ entonces $x\in B$ y $y\in A$ .
2. Por cada $b\in B$ existe $a\in A$ tal que $(b,a)\in f$ .
3. Si $(b,a)$ y $(b,a')$ están en $f$ entonces $a=a'$ .

Ahora, ¿qué pasa si $B=\emptyset$ ? Bueno, entonces no puede haber un par en $f$ porque no se puede tener $x\in B$ . Pero nótese que en ese caso, 2 se satisface "por vacuidad" (si fuera falso, se podría exhibir un $b\in\emptyset$ para el que no hay $a\in A$ con $(b,a)\in f$ pero hay son no $b\in\emptyset$ por lo que no se puede hacer tal exposición; la afirmación es verdadera porque la premisa, " $b\in\emptyset$ ", nunca puede sostenerse). Asimismo, 3 se mantiene por vacuidad. Así que resulta que si tomamos $f=\emptyset$ entonces $f$ satisface 1, 2 y 3, por lo que es, con todo derecho, una "función de $\emptyset$ a $A$ ". Pero esta es la única función posible de $\emptyset$ a $A$ porque sólo funciona el conjunto vacío.

En cambio, si $A=\emptyset$ pero $B\neq\emptyset$ , entonces no hay conjunto $f$ puede satisfacer tanto 1 como 2, por lo que ningún conjunto puede ser una función de $B$ a $A$ .

Esto significa que $Y^{\emptyset}$ siempre contiene exactamente un elemento, a saber, la "función vacía", $\emptyset$ . Pero si $Y\neq\emptyset$ entonces $\emptyset^Y$ contiene no elementos; es decir, está vacío.

Por lo tanto, ya que $Y^{\emptyset}$ tiene exactamente un elemento, $|Y^{\emptyset}|=1$ independientemente de lo que $Y$ es. Pero si $Y\neq\emptyset$ entonces $\emptyset^{Y}$ está vacío, por lo que $|\emptyset^{Y}| = 0$ .

Answer 2

Porque el función de vacío es la única función del conjunto vacío a un conjunto arbitrario $Y$ , mientras que si $Y\neq\emptyset$ entonces existe $y\in Y$ pero no hay lugar en $\emptyset$ para que una función envíe $y$ a.